1. Considere uma fibra óptica de sílica em que o índice de refração do núcleo é \mathrm{n}_{1}=1,50 e o índice de refração da casca é \mathrm{n}_{2}=1,47. Admitindo como válido uma abordagem segundo a óptica geométrica, calcule:
    a) o ângulo de incidência crítico na interface núcleo-casca.
    b) o ângulo de aceitação no ar.
    c) a diferença relativa dos índices de refração.
    d) a abertura numérica.

Passo 1

Dados fornecidos:
n_1 = 1{,}50\quad\text{(índice do núcleo)},\qquad n_2 = 1{,}47\quad\text{(índice da casca)}.íúí
O enunciado, abordando óptica geométrica, pede:
a) o ângulo crítico na interface núcleo–casca;
b) o ângulo de aceitação no ar (meio externo é ar, n_0=1);
c) a diferença relativa dos índices de refração;
d) a abertura numérica (NA).

Passo 2

Entendendo e calculando o ângulo crítico \theta_c:
Primeiro, a regra que governa refração é a Lei de Snell. Ela diz que, para duas regiões com índices n_a e n_b, e ângulos medidos em relação à normal \theta_a e \theta_b,
n_a\sin\theta_a = n_b\sin\theta_b.
Aqui, o ângulo crítico \theta_c é o maior ângulo (no núcleo) que ainda permite refração para a casca; para esse ângulo a refração ocorre tangencialmente, ou seja, o ângulo refratado na casca é 90^\circ. Portanto, aplicando Snell na interface núcleo–casca:
n_1\sin\theta_c = n_2\sin 90^\circ = n_2.
Isolando \sin\theta_c:
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}.
Substituindo os valores numéricos:
\sin\theta_c = \frac{1{,}47}{1{,}50} = 0{,}98.
Logo
\theta_c = \arcsin(0{,}98).
Calculando o arco-seno (aproximação numérica):
\theta_c \approx 78{,}51^\circ.

Passo 3

Entendendo e calculando o ângulo de aceitação \theta_a e a Abertura Numérica (NA):
Descrição física (geométrica): um raio entra pela face plana da fibra (essa face é perpendicular ao eixo do núcleo), portanto o ângulo de incidência externo \theta_a medido em relação ao eixo coincide com o ângulo em relação à normal da face. Após entrar, o raio forma um ângulo \theta com o eixo dentro do núcleo. Para que o raio seja guiado (sofra reflexão total na interface núcleo–casca), o ângulo interno \theta deve ser menor ou igual a um valor máximo \theta_{\max}. A relação entre esse \theta_{\max} e o ângulo crítico \theta_c é geométrica: o ângulo que o raio faz com a normal na interface é (90^\circ-\theta); a condição de reflexão total é
90^\circ - \theta \ge \theta_c \quad\Rightarrow\quad \theta \le 90^\circ - \theta_c.
Portanto o maior \theta possível é
\theta_{\max} = 90^\circ - \theta_c.
Agora usamos trigonometria: a função seno do ângulo com o eixo no interior vale
\sin\theta_{\max} = \sin(90^\circ - \theta_c) = \cos\theta_c.
Usando o resultado do Passo 2,
\cos\theta_c = \sqrt{1-\sin^2\theta_c} = \sqrt{1-\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \sqrt{\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2}} = \frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1}.
Agora aplicamos Snell na face de entrada (entre ar com índice n_0 e núcleo com n_1). Como a face é plana e perpendicular ao eixo:
n_0\sin\theta_a = n_1\sin\theta_{\max}.
Substituindo \sin\theta_{\max} e tomando n_0=1 (ar),
\sin\theta_a = \frac{n_1}{n_0}\cdot\sin\theta_{\max} = \frac{n_1}{1}\cdot\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2-n_2^2}.
Definimos a Abertura Numérica (NA) por
\mathrm{NA} \equiv \sqrt{n_1^2-n_2^2}.
Assim,
\sin\theta_a = \mathrm{NA}.
Agora calculamos numericamente:
n_1^2 - n_2^2 = 1{,}50^2 - 1{,}47^2 = 2{,}25 - 2{,}1609 = 0{,}0891.
Logo
\mathrm{NA} = \sqrt{0{,}0891}\approx 0{,}2985.
E o ângulo de aceitação no ar é
\theta_a = \arcsin(0{,}2985)\approx 17{,}36^\circ.

Passo 4

Calculando a diferença relativa dos índices de refração \Delta:
A forma simples e comum para a diferença relativa (normalizada pelo índice do núcleo) é
\Delta = \frac{n_1 - n_2}{n_1}.
Substituindo números:
\Delta = \frac{1{,}50 - 1{,}47}{1{,}50} = \frac{0{,}03}{1{,}50} = 0{,}02.
Em percentual, isso corresponde a
\Delta = 0{,}02 = 2\%.

Resposta

(a) \theta_c \approx 78{,}51^\circ
(b) \theta_a \approx 17{,}36^\circ
(c) \displaystyle \Delta=\frac{n_1-n_2}{n_1}=0{,}02\; (2\%)
(d) \mathrm{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\approx 0{,}2985

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