1. Sabendo-se que para que ocorra refração a luz deve passar de um meio para outro, e sabendo-se que um dos meios tem índice de refração \mathrm{n}_{1} e o ângulo de incidência \theta_{1}, e o outro meio tem índice de refração \mathrm{n}_{2} e ângulo de refração \theta_{2}; determine a lei de Snell em função dos cossenos de \theta_{1} e \theta_{2} e dos índices de refração \mathrm{n}_{1} e \mathrm{n}_{2}.
    Dado: [\operatorname{sen}(\theta)]^{2}+[\cos (\theta)]^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a lei de Snell usando cossenos em vez de senos. Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos dois meios ópticos, com índices de refração \mathrm{n}_1 e \mathrm{n}_2.
  • O ângulo de incidência (medido em relação à normal) no primeiro meio é \theta_1.
  • O ângulo de refração (medido em relação à normal) no segundo meio é \theta_2.
  • Foi dada a identidade trigonométrica [\operatorname{sen}(\theta)]^{2}+[\cos (\theta)]^{2}=1.
  • Objetivo: escrever a relação de Snell (a relação que conecta os ângulos e os índices) explicitamente em função dos cossenos \cos\theta_1 e \cos\theta_2 e dos índices \mathrm{n}_1,\mathrm{n}_2.

Passo 2

Começamos lembrando a forma mais conhecida da lei de Snell (que é a que vocês normalmente decoram na prova). Ela relaciona os senos dos ângulos e os índices:
\mathrm{n}_1\sin\theta_1=\mathrm{n}_2\sin\theta_2.
Aqui \mathrm{n}_1 e \mathrm{n}_2 são números positivos e \theta_1,\theta_2 estão no intervalo [0,\pi/2] quando consideramos refração sem ocorrência de ângulo além do crítico (ou seja, senos positivos). Essa hipótese sobre os sinais dos senos será usada ao manipular raízes.

Passo 3

Queremos transformar a equação acima para que apareçam cossenos em vez de senos. Usamos a identidade trigonométrica dada:
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
Dessa identidade segue que
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta},
tomando a raiz principal (positiva) porque, para ângulos entre 0 e \pi/2, \sin\theta\ge 0. É importante explicar isso: quando substituir \sin\theta por essa raiz, estamos assumindo o caso físico usual onde os ângulos são agudos e os senos são não-negativos.

Passo 4

Substituímos \sin\theta_1 e \sin\theta_2 pela expressão em função dos cossenos na equação de Snell:
\mathrm{n}_1\sqrt{1-\cos^2\theta_1}=\mathrm{n}_2\sqrt{1-\cos^2\theta_2}.
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é permitido porque ambos os lados são não-negativos sob a hipótese feita):
\mathrm{n}_1^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)=\mathrm{n}_2^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_2\bigr).
Essa é já uma forma da lei de Snell escrita com cossenos (em termos de \cos^2\theta). Vou agora arrumar essa expressão para ficar mais clara.

Passo 5

Expandindo e recolhendo termos, a equação do passo anterior fica:
\mathrm{n}_1^{2}-\mathrm{n}_1^{2}\cos^2\theta_1=\mathrm{n}_2^{2}-\mathrm{n}_2^{2}\cos^2\theta_2.
Isolando os termos com cossenos em um lado:
\mathrm{n}_2^{2}\cos^2\theta_2-\mathrm{n}_1^{2}\cos^2\theta_1=\mathrm{n}_2^{2}-\mathrm{n}_1^{2}.
Outra forma conveniente (mais direta) é escrever:
\mathrm{n}_1^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)=\mathrm{n}_2^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_2\bigr).
Isso já responde o pedido: a lei de Snell em função dos cossenos aparece como uma igualdade entre essas combinações.

Passo 6

Se preferirmos isolar \cos\theta_2 explicitamente (útil se na prova pedirem calcular o cosseno do ângulo refratado a partir de \cos\theta_1), fazemos a álgebra a seguir. Partimos de
\mathrm{n}_2^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_2\bigr)=\mathrm{n}_1^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr).
Dividindo por \mathrm{n}_2^{2} e isolando \cos^2\theta_2:
1-\cos^2\theta_2=\left(\frac{\mathrm{n}_1}{\mathrm{n}_2}\right)^2\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)
\cos^2\theta_2=1-\left(\frac{\mathrm{n}_1}{\mathrm{n}_2}\right)^2\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr).
Tomando a raiz quadrada principal (novamente assumindo \theta_2\in[0,\pi/2], logo \cos\theta_2\ge 0 só se \theta_2 for agudo — atenção ao sinal dependendo do contexto físico), obtemos:
\cos\theta_2=\sqrt{\,1-\left(\frac{\mathrm{n}_1}{\mathrm{n}_2}\right)^2\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)\,}.
Essa expressão permite calcular \cos\theta_2 diretamente a partir de \cos\theta_1 e dos índices \mathrm{n}_1,\mathrm{n}_2.

Passo 7

Resumo didático rápido do que fizemos e dicas para a prova:
  • Lembre-se da forma básica: \mathrm{n}_1\sin\theta_1=\mathrm{n}_2\sin\theta_2. Se a questão pedir cossenos, use \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}.
  • Ao elevar ao quadrado para eliminar raízes, confira o domínio (sinais) — para ângulos entre 0 e \pi/2 não há problema pois senos e cossenos são não-negativos.
  • Tenha à mão as duas formas finais: a forma com quadrados
    \mathrm{n}_1^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)=\mathrm{n}_2^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_2\bigr)
    e a forma com \cos\theta_2 isolado, caso precise calcular valores numéricos.

Resposta

\mathrm{n}_1^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)=\mathrm{n}_2^{2}\bigl(1-\cos^2\theta_2\bigr)
\cos\theta_2=\sqrt{\,1-\left(\frac{\mathrm{n}_1}{\mathrm{n}_2}\right)^2\bigl(1-\cos^2\theta_1\bigr)\,}

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