- Sabendo-se que para que ocorra refração a luz deve passar de um meio para outro, e sabendo-se que um dos meios tem índice de refração
e o ângulo de incidência
, e o outro meio tem índice de refração
e ângulo de refração
; determine a lei de Snell em função dos cossenos de
e
e dos índices de refração
e
.
Dado:
Dado:
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva a lei de Snell usando cossenos em vez de senos. Informações dadas e o que é pedido:
- Temos dois meios ópticos, com índices de refração
e . - O ângulo de incidência (medido em relação à normal) no primeiro meio é
. - O ângulo de refração (medido em relação à normal) no segundo meio é
. - Foi dada a identidade trigonométrica
. - Objetivo: escrever a relação de Snell (a relação que conecta os ângulos e os índices) explicitamente em função dos cossenos
e e dos índices .
Passo 2
Começamos lembrando a forma mais conhecida da lei de Snell (que é a que vocês normalmente decoram na prova). Ela relaciona os senos dos ângulos e os índices:
Aqui
e
são números positivos e
estão no intervalo
quando consideramos refração sem ocorrência de ângulo além do crítico (ou seja, senos positivos). Essa hipótese sobre os sinais dos senos será usada ao manipular raízes.
Passo 3
Queremos transformar a equação acima para que apareçam cossenos em vez de senos. Usamos a identidade trigonométrica dada:
Dessa identidade segue que
tomando a raiz principal (positiva) porque, para ângulos entre
e
,
. É importante explicar isso: quando substituir
por essa raiz, estamos assumindo o caso físico usual onde os ângulos são agudos e os senos são não-negativos.
Passo 4
Substituímos
e
pela expressão em função dos cossenos na equação de Snell:
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é permitido porque ambos os lados são não-negativos sob a hipótese feita):
Essa é já uma forma da lei de Snell escrita com cossenos (em termos de
). Vou agora arrumar essa expressão para ficar mais clara.
Passo 5
Expandindo e recolhendo termos, a equação do passo anterior fica:
Isolando os termos com cossenos em um lado:
Outra forma conveniente (mais direta) é escrever:
Isso já responde o pedido: a lei de Snell em função dos cossenos aparece como uma igualdade entre essas combinações.
Passo 6
Se preferirmos isolar
explicitamente (útil se na prova pedirem calcular o cosseno do ângulo refratado a partir de
), fazemos a álgebra a seguir. Partimos de
Dividindo por
e isolando
:
Tomando a raiz quadrada principal (novamente assumindo
, logo
só se
for agudo — atenção ao sinal dependendo do contexto físico), obtemos:
Essa expressão permite calcular
diretamente a partir de
e dos índices
.
Passo 7
Resumo didático rápido do que fizemos e dicas para a prova:
- Lembre-se da forma básica:
. Se a questão pedir cossenos, use . - Ao elevar ao quadrado para eliminar raízes, confira o domínio (sinais) — para ângulos entre
e não há problema pois senos e cossenos são não-negativos. - Tenha à mão as duas formas finais: a forma com quadrados
e a forma comisolado, caso precise calcular valores numéricos.