Considere um filtro de ar, fechado, cuja forma é aproximadamente a do conjunto
D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq z^{2} \leq 4\right\},
com a tampa em z=2, imerso numa corrente de ar cujo campo de velocidades é dado pela expressão \overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y, z)=\left(2 y z \exp \left(y^{2}\right), 2 x z \exp \left(x^{2}\right),-2+x y\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Mostre que a quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, supondo a densidade do ar \rho(x, y, z)=1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. (Dica: usando o teorema de Gauss para campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\rho(x, y, z) \overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y, z), calcule o fluxo de ar
\iint_{S} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d S
que sai através da parede do filtro).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Conjunto descrito:
D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2\le z^2\le 4\right\}.
  • Campo de velocidades do ar (unidades em m/s):
\overrightarrow{\mathbf{v}}(x,y,z)=\bigl(2yz\,e^{y^{2}},\;2xz\,e^{x^{2}},\;-2+xy\bigr).
  • Densidade do ar constante:
\rho(x,y,z)=1\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • Definição do campo a usar (dado na dica):
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,y,z)=\rho(x,y,z)\,\overrightarrow{\mathbf{v}}(x,y,z).
  • Pedido do problema: mostrar que a quantidade de ar dentro do filtro se mantém constante. A indicação é calcular o fluxo de \overrightarrow{\mathbf{F}} através da superfície fechada \,S=\partial D:
\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Observações geométricas relevantes (informações sobre \partial D que aparecem no enunciado): a fronteira S é a superfície fechada que consiste na superfície lateral cônica (os dois nappes do cone) mais as tampas/discos de plano quando z=\pm 2 que fecham a região.

Passo 2

Explicando a estratégia matemática e física (aqui ensino o teorema que será usado, passo a passo).
  • Teorema de Gauss (teorema da divergência) — enunciado prático: para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{\mathbf{F}} definido em uma região sólida D com superfície fechada e orientada S=\partial D (normais externas),
\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \iiint_{D}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}\,dV.
Aqui \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}} é a divergência de \overrightarrow{\mathbf{F}} e dV é o elemento de volume.
  • Interpretação física (importante para ligar ao pedido): o fluxo \iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS mede a taxa líquida de massa que sai do volume D por unidade de tempo quando \overrightarrow{\mathbf{F}}=\rho\overrightarrow{\mathbf{v}}. A conservação de massa para um volume fixo diz:
\frac{d}{dt}\int_{D}\rho\,dV = -\iint_{S}\rho\,\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Se o lado direito for zero, a massa total dentro de D não varia com o tempo; ou seja, a quantidade de ar dentro do filtro se mantém constante.
  • Plano de ataque: calcular \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}} explicitamente; usar o Teorema de Gauss para converter o fluxo de superfície em uma integral de volume; se essa integral for zero, então a taxa de variação da massa é zero e, portanto, a massa é constante.

Passo 3

Calcular explicitamente \overrightarrow{\mathbf{F}} e sua divergência.
  • Como \rho(x,y,z)=1, tem-se
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,y,z)=1\cdot\overrightarrow{\mathbf{v}}(x,y,z)=\bigl(2yz\,e^{y^{2}},\;2xz\,e^{x^{2}},\;-2+xy\bigr).
Vou denotar as componentes por
F_1(x,y,z)=2yz\,e^{y^{2}},\qquad F_2(x,y,z)=2xz\,e^{x^{2}},\qquad F_3(x,y,z)=-2+xy.
  • Definição de divergência (passo didático): para \overrightarrow{\mathbf{F}}=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial da componente correspondente em relação à variável mostrada; a ideia é medir, localmente, quanto o campo “se expande” em cada direção.
  • Calcular cada parcial:
  1. \dfrac{\partial F_1}{\partial x}. Aqui F_1=2yz\,e^{y^{2}} não depende de x (note que só há y, z e e^{y^2}). Portanto
\frac{\partial F_1}{\partial x}=0.
  1. \dfrac{\partial F_2}{\partial y}. Aqui F_2=2xz\,e^{x^{2}} não depende de y (só depende de x e z). Então
\frac{\partial F_2}{\partial y}=0.
  1. \dfrac{\partial F_3}{\partial z}. Aqui F_3=-2+xy não depende de z. Logo
\frac{\partial F_3}{\partial z}=0.
  • Somando:
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}=0+0+0=0.
Comentário intuitivo: localmente o campo \overrightarrow{\mathbf{F}} não tem “fonte” nem “sump” (divergência nula), ou seja, não há criação nem destruição local de massa representada por esse campo puro \rho\mathbf{v} (com \rho constante).

Passo 4

Aplicar o Teorema de Gauss e concluir sobre o fluxo e a massa.
  • Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \iiint_{D}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}\,dV.
Como já vimos \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}=0 em todo D, temos
\iiint_{D}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}\,dV = \iiint_{D}0\,dV=0.
Portanto
\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS=0.
  • Pela interpretação física explicada no Passo 2, a taxa de variação da massa dentro de D é
\frac{d}{dt}\int_{D}\rho\,dV = -\iint_{S}\rho\,\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = -\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = -0 = 0.
Como a derivada temporal da massa é zero, a massa (ou seja, a quantidade de ar) contida no interior do filtro permanece constante no tempo.

Passo 5

Observações finais e reforço didático.
  • O cálculo principal que garante tudo é simplesmente que a divergência de \overrightarrow{\mathbf{F}} é zero em todo o domínio, o que transforma o fluxo de superfície em uma integral de volume nula.
  • Não foi necessário calcular fluxos separadamente através das partes da superfície (cone lateral e tampas), porque o Teorema de Gauss permite passar diretamente pela divergência.
  • A hipótese de \rho=1 (constante) foi usada para simplificar \overrightarrow{\mathbf{F}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}. Se \rho fosse variável, teríamos que calcular \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) e proceder de forma análoga.

Resposta

A quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, pois \iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS=0 (já que \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{F}}=0 em D), logo \dfrac{d}{dt}\int_{D}\rho\,dV=0.

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