Considere um filtro de ar, fechado, cuja forma é aproximadamente a do conjunto
com a tampa em
, imerso numa corrente de ar cujo campo de velocidades é dado pela expressão
. Mostre que a quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, supondo a densidade do ar
. (Dica: usando o teorema de Gauss para campo vetorial
, calcule o fluxo de ar
que sai através da parede do filtro).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Conjunto descrito:
- Campo de velocidades do ar (unidades em m/s):
- Densidade do ar constante:
- Definição do campo a usar (dado na dica):
- Pedido do problema: mostrar que a quantidade de ar dentro do filtro se mantém constante. A indicação é calcular o fluxo de
através da superfície fechada :
Observações geométricas relevantes (informações sobre
que aparecem no enunciado): a fronteira
é a superfície fechada que consiste na superfície lateral cônica (os dois nappes do cone) mais as tampas/discos de plano quando
que fecham a região.
Passo 2
Explicando a estratégia matemática e física (aqui ensino o teorema que será usado, passo a passo).
- Teorema de Gauss (teorema da divergência) — enunciado prático: para um campo vetorial suficientemente suave
definido em uma região sólida com superfície fechada e orientada (normais externas),
Aqui
é a divergência de
e
é o elemento de volume.
- Interpretação física (importante para ligar ao pedido): o fluxo
mede a taxa líquida de massa que sai do volume por unidade de tempo quando . A conservação de massa para um volume fixo diz:
Se o lado direito for zero, a massa total dentro de
não varia com o tempo; ou seja, a quantidade de ar dentro do filtro se mantém constante.
- Plano de ataque: calcular
explicitamente; usar o Teorema de Gauss para converter o fluxo de superfície em uma integral de volume; se essa integral for zero, então a taxa de variação da massa é zero e, portanto, a massa é constante.
Passo 3
Calcular explicitamente
e sua divergência.
- Como
, tem-se
Vou denotar as componentes por
- Definição de divergência (passo didático): para
,
Cada termo é a derivada parcial da componente correspondente em relação à variável mostrada; a ideia é medir, localmente, quanto o campo “se expande” em cada direção.
- Calcular cada parcial:
-
. Aqui não depende de (note que só há , e ). Portanto
-
. Aqui não depende de (só depende de e ). Então
-
. Aqui não depende de . Logo
- Somando:
Comentário intuitivo: localmente o campo
não tem “fonte” nem “sump” (divergência nula), ou seja, não há criação nem destruição local de massa representada por esse campo puro
(com
constante).
Passo 4
Aplicar o Teorema de Gauss e concluir sobre o fluxo e a massa.
- Pelo Teorema de Gauss,
Como já vimos
em todo
, temos
Portanto
- Pela interpretação física explicada no Passo 2, a taxa de variação da massa dentro de
é
Como a derivada temporal da massa é zero, a massa (ou seja, a quantidade de ar) contida no interior do filtro permanece constante no tempo.
Passo 5
Observações finais e reforço didático.
- O cálculo principal que garante tudo é simplesmente que a divergência de
é zero em todo o domínio, o que transforma o fluxo de superfície em uma integral de volume nula. - Não foi necessário calcular fluxos separadamente através das partes da superfície (cone lateral e tampas), porque o Teorema de Gauss permite passar diretamente pela divergência.
- A hipótese de
(constante) foi usada para simplificar . Se fosse variável, teríamos que calcular e proceder de forma análoga.
Resposta
A quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, pois
(já que
em
), logo
.