Suponha que
sempre que
. O que se pode dizer do
?
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade, válida para todo
em
:
A pergunta é: qual é o valor de
? Ou seja, qual é o limite de
quando
se aproxima de
pela direita (valores maiores que
mas próximos dele).
Passo 2
Entender o que significa
. Esse limite considera apenas entradas
com
que se aproximam de
. Como a desigualdade dada vale para todo
em
, ela vale especialmente para esses
à direita de
. Logo podemos usar a desigualdade para comparar
com as duas funções limites quando
.
Passo 3
Calcular os limites das funções que fazem as bordas da desigualdade. São dois polinômios simples, e polinômios são funções contínuas (ou seja, o limite quando
tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto). Portanto:
Ambas as funções-limite tendem a
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). O teorema diz: se para todo
numa vizinhança (exceto possivelmente no próprio ponto) tem-se
e se
então
. Intuitivamente: se
está sempre “apertado” entre
e
, e ambos convergem para o mesmo valor
, então
não tem alternativa senão convergir para
também.
No nosso caso tomamos
e
. Já vimos que
e a desigualdade dada nos garante
para os
considerados. Logo, pelo Teorema do Confronto,
Resumo prático que você pode usar na prova: quando uma função está sempre entre duas outras cujo limite no ponto de interesse é o mesmo valor, então a função “herda” esse limite. Aqui ambas as bordas vão para
em
, então
também tende a
por
. Força aí — essa é uma aplicação clássica e rápida do teorema do confronto.