Suponha que x^{2}-9 \leqslant f(x) \leqslant 9-x^{2} sempre que -3 \leqslant x \leqslant 3. O que se pode dizer do \lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x) ?

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade, válida para todo x em [-3,3]:
x^{2}-9 \leqslant f(x) \leqslant 9-x^{2}.
A pergunta é: qual é o valor de \lim_{x\rightarrow -3^{+}} f(x)? Ou seja, qual é o limite de f(x) quando x se aproxima de -3 pela direita (valores maiores que -3 mas próximos dele).

Passo 2

Entender o que significa \lim_{x\rightarrow -3^{+}} f(x). Esse limite considera apenas entradas x com -3 < x \leqslant 3 que se aproximam de -3. Como a desigualdade dada vale para todo x em [-3,3], ela vale especialmente para esses x à direita de -3. Logo podemos usar a desigualdade para comparar f(x) com as duas funções limites quando x\to-3^{+}.

Passo 3

Calcular os limites das funções que fazem as bordas da desigualdade. São dois polinômios simples, e polinômios são funções contínuas (ou seja, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto). Portanto:
\lim_{x\to -3^{+}} \bigl(x^{2}-9\bigr) = (-3)^{2}-9 = 9-9 = 0,
\lim_{x\to -3^{+}} \bigl(9-x^{2}\bigr) = 9-(-3)^{2} = 9-9 = 0.
Ambas as funções-limite tendem a 0 quando x se aproxima de -3 pela direita.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). O teorema diz: se para todo x numa vizinhança (exceto possivelmente no próprio ponto) tem-se
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L. Intuitivamente: se f(x) está sempre “apertado” entre g(x) e h(x), e ambos convergem para o mesmo valor L, então f(x) não tem alternativa senão convergir para L também.
No nosso caso tomamos g(x)=x^{2}-9 e h(x)=9-x^{2}. Já vimos que
\lim_{x\to -3^{+}} g(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to -3^{+}} h(x)=0,
e a desigualdade dada nos garante g(x)\le f(x)\le h(x) para os x considerados. Logo, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\rightarrow -3^{+}} f(x)=0.
Resumo prático que você pode usar na prova: quando uma função está sempre entre duas outras cujo limite no ponto de interesse é o mesmo valor, então a função “herda” esse limite. Aqui ambas as bordas vão para 0 em x=-3, então f também tende a 0 por -3^{+}. Força aí — essa é uma aplicação clássica e rápida do teorema do confronto.

Resposta

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