Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve x^{2} multiplicando \sin de uma função que diverge quando x\to0 (pois \sqrt[3]{x}\to0 e 1/\sqrt[3]{x}\to\pm\infty).
  • Não há nenhuma restrição explícita sobre x; o limite é pedido quando x tende a 0 (pelas duas direções).
  • A função seno aparece com argumento grande/osciante, então pode oscilar entre -1 e 1.

Passo 2

Propriedade importante do seno (que vamos usar): para todo número real t vale
-1 \le \sin t \le 1.
Aplicando isso ao nosso argumento t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} obtemos, para todo x diferente de 0,
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \le 1.
Isto é só relembrar que a função \sin é sempre entre -1 e 1, independentemente do quão grande ou oscilante seja o argumento.

Passo 3

Multiplicamos a desigualdade do Passo 2 por x^{2}. Aqui é importante notar que x^{2}\ge 0 para todo x, então a multiplicação preserva as desigualdades. Assim,
- x^{2} \le x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \le x^{2}.
Essa desigualdade nos coloca a função que queremos entre duas funções simples: -x^{2} e x^{2}.

Passo 4

Teorema do confronto (squeeze theorem): se para x próximos de a temos g(x)\le f(x)\le h(x) e
\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L,
então \lim_{x\to a} f(x) = L.
No nosso caso temos g(x)=-x^{2}, f(x)=x^{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\big) e h(x)=x^{2}. Calculamos os limites das “bordas”:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0,\qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Como f(x) está entre g(x) e h(x) e ambos os limites laterais valem 0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) = 0.

Passo 5

Comentário didático extra (fórmula/ideia útil para a prova): uma maneira curta de ver esse tipo de limite é usar o valor absoluto:
\left|x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\right| \le x^{2},
pois |\sin|\le 1. Como \lim_{x\to 0} x^{2}=0, segue que o limite do valor absoluto é 0, isto é, a função tende a 0. Essa ideia — produto de uma função limitada por uma que tende a zero — é muito prática em provas.

Resposta

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