Considere financiar o valor de \mathrm{R} \ 120.000,00$ em um prazo de 8 anos, onde será cobrada uma taxa de juros 0,6% ao mês. Determine
a) o quanto se pagará a mais na 1^{\mathrm{a}} parcela SAC em relação à primeira parcela PRICE.
b) o quanto se pagará a menos na última parcela SAC em relação a última parcela PRICE.
c) o total de juros pagos em cada sistema.
d) o total pago pela casa em cada sistema.
e) o quanto é pago a mais no sistema SAC comparado ao PRICE até 48^{\mathrm{a}} parcela (inclusive).
f) o quanto é pago a menos no sistema SAC comparado ao PRICE em todo o financiamento.

Passo 1

O enunciado pede comparar dois sistemas de amortização para um financiamento de R$ 120000 em 8 anos ( 96 meses) com taxa de juros de 0,6\% ao mês. Vamos usar:
– SAC (Sistema de Amortização Constante), em que a amortização mensal é constante e os juros decrescem.
– PRICE (sistema de prestações fixas), em que a prestação A é constante e composta de parte de juros e parte de amortização variável.

Passo 2

Calcular dados iniciais:
  1. Número de parcelas: n=8\times12=96.
  2. Amortização mensal no SAC:
\text{amort} = \frac{120000}{96} = 1250.
  1. Juros do mês 1 (SAC):
J_1 = 0,006 \times 120000 = 720.
  1. Parcela 1 no SAC:
P_{1}^{\mathrm{SAC}} = 1250 + 720 = 1970.
  1. Saldo devedor antes da última parcela: 120000 - 95\times1250 = 1250.
  2. Juros do mês 96 (SAC):
J_{96} = 0,006 \times 1250 = 7{,}50.
  1. Parcela 96 no SAC:
P_{96}^{\mathrm{SAC}} = 1250 + 7{,}50 = 1257{,}50.
  1. Prestação fixa no PRICE:
A = 120000 \times \frac{0,006\,(1{,}006)^{96}}{(1{,}006)^{96}-1} \approx 1647{,}95.

Passo 3

(a) Diferença na 1ª parcela:
P_{1}^{\mathrm{SAC}} - A = 1970 - 1647{,}95 = 322{,}05.

Passo 4

(b) Diferença na última parcela:
P_{96}^{\mathrm{SAC}} - A = 1257{,}50 - 1647{,}95 = -390{,}45,
ou seja, paga-se 390{,}45 a menos no SAC.

Passo 5

(c) Total de juros em cada sistema:
  • SAC: soma dos juros mensais decrescentes
\sum_{k=0}^{95}0,006\bigl(120000 - k\cdot1250\bigr) =0,006\Bigl(96\cdot120000 -1250\cdot\frac{96\cdot95}{2}\Bigr) =34920.
  • PRICE: total pago menos principal
96\times1647{,}95 - 120000 = 158204 - 120000 = 38204.

Passo 6

(d) Total pago pela casa em cada sistema:
  • SAC: 120000 + 34920 = 154920.
  • PRICE: 120000 + 38204 = 158204.

Passo 7

(e) Diferença até a 48ª parcela (inclusive):
  • SAC:
  • Amortização total em 48 meses: 48\times1250 = 60000.
  • Juros em 48 meses:
0,006\Bigl(48\cdot120000 -1250\cdot\frac{48\cdot47}{2}\Bigr) =26100.
  • Total SAC em 48 parcelas: 60000 + 26100 = 86100.
  • PRICE: 48\times1647{,}95 = 79101{,}60.
  • Diferença:
86100 - 79101{,}60 = 6998{,}40.

Passo 8

(f) Diferença no total do financiamento:
\bigl(\text{total SAC}\bigr) - \bigl(\text{total PRICE}\bigr) =154920 - 158204 = -3284,
ou seja, paga-se 3284 a menos no SAC em todo o período.

Resposta

a) R$ 322,05
b) R$ 390,45 a menos
c) Juros SAC = R$ 34920; Juros PRICE = R$ 38204
d) Total SAC = R$ 154920; Total PRICE = R$ 158204
e) R$ 6998,40 a mais no SAC até a 48ª parcela
f) R$ 3284 a menos no SAC em todo o financiamento

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