a) Mostre que P_{1 S}-P_{1 P}=D_{0}\left[\frac{1}{n}-\frac{i}{(1+i)^{n}-1}\right].
b) Seja d=P_{1 S}-P_{1 P}. Considere D_{0}=R \ 120.000,00 . Determined$ para
b.1) n=24 \mathrm{e} i=2 \% a.m.
b.2) n=48 e i=2 \% a.m.
b.3) n=24 \mathrm{e} i=5 \% a.m.
b.4) n=48 e i=5 \% a.m.

Passo 1

O enunciado trata de comparar o valor da amortização do primeiro pagamento nos dois sistemas de amortização de um empréstimo de valor inicial D_{0} em n prestações com taxa de juros periódicos i.
Conteúdo: amortização constante (SAC) e sistema Price (parcelas fixas).

Passo 2

No sistema de amortização constante (SAC), a parte amortizada em cada prestação é sempre
P_{1S} = \frac{D_{0}}{n}\,.

Passo 3

No sistema Price, a prestação periódica fixa A vale
A = D_{0}\,\frac{i\,(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}\,.
Dessa forma, a amortização na primeira parcela é
P_{1P} = A - \text{juros do período 1} = A - D_{0}\,i = D_{0}\,\Bigl[\frac{i\,(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}-i\Bigr].í
Fatorando i:
P_{1P} = D_{0}\,i\, \frac{(1+i)^{n} - \bigl((1+i)^{n}-1\bigr)}{(1+i)^{n}-1} = D_{0}\,\frac{i}{(1+i)^{n}-1}\,.

Passo 4

A diferença entre as amortizações é
P_{1S}-P_{1P} = \frac{D_{0}}{n} - D_{0}\,\frac{i}{(1+i)^{n}-1} = D_{0}\,\Bigl[\frac{1}{n}-\frac{i}{(1+i)^{n}-1}\Bigr].

Passo 5

Agora, com D_{0}=120000, calculamos
d = D_{0}\,\Bigl[\frac{1}{n}-\frac{i}{(1+i)^{n}-1}\Bigr]
nos quatro casos, aproximando (1+i)^{n}:
b.1) n=24,\;i=0,02: (1,02)^{24}\approx1,6086;→;
d \approx 120000\Bigl[\tfrac{1}{24}-\tfrac{0,02}{1,6086-1}\Bigr] \approx 120000\,(0,00878)\approx 1053{,}20.
b.2) n=48,\;i=0,02: (1,02)^{48}\approx2,588;→;
d \approx 120000\Bigl[\tfrac{1}{48}-\tfrac{0,02}{2,588-1}\Bigr] \approx 120000\,(0,00824)\approx 988{,}80.
b.3) n=24,\;i=0,05: (1,05)^{24}\approx3,226;→;
d \approx 120000\Bigl[\tfrac{1}{24}-\tfrac{0,05}{3,226-1}\Bigr] \approx 120000\,(0,01921)\approx 2305{,}40.
b.4) n=48,\;i=0,05: (1,05)^{48}\approx10,406;→;
d \approx 120000\Bigl[\tfrac{1}{48}-\tfrac{0,05}{10,406-1}\Bigr] \approx 120000\,(0,01552)\approx 1861{,}90.

Resposta

b.1) d \approx \text{R\$ }1\,053{,}20
b.2) d \approx \text{R\$ }988{,}80
b.3) d \approx \text{R\$ }2\,305{,}40
b.4) d \approx \text{R\$ }1\,861{,}90

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