Considere um “fio infinito”, de raio da secção reta desprezível, carregado com carga positiva, de modo que a densidade linear de carga é
. Faça o que se pede.
a) Calcule o campo elétrico a uma distância
do eixo central do fio.
b) Calcule a força que uma carga pontual
colocada à uma distância
do fio está sujeita.
c) Desenhe o fio e represente o campo elétrico (linhas do campo).
d) Suponha que o potencial no “infinito” seja nulo (
("
") = 0). Mostre que, a uma distância
do fio, o potencial é dado por
a) Calcule o campo elétrico a uma distância
b) Calcule a força que uma carga pontual
c) Desenhe o fio e represente o campo elétrico (linhas do campo).
d) Suponha que o potencial no “infinito” seja nulo (
Passo 1
O enunciado dá um fio infinito, com seção de raio desprezível (mas em (b) aparece uma condição
, portanto consideramos que o fio pode ter um raio
muito pequeno) e densidade linear de carga
. As perguntas são:
- (a) Calcular o campo elétrico a uma distância
do eixo do fio. - (b) Calcular a força sobre uma carga pontual
colocada a uma distância do fio. - (c) Desenhar o fio e representar as linhas do campo elétrico.
- (d) Assumindo
, mostrar que o potencial a uma distância do fio é
Informações úteis dadas: densidade linear
, fio infinito, carga de prova
, condição
. Nada mais é pedido neste passo além de listar o que é dado e as perguntas.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): quando um problema tem simetria cilíndrica (um fio longo e retilíneo), o campo elétrico tem direção radial (saindo do eixo) e depende apenas da distância radial
ao eixo. A Lei de Gauss é a ferramenta mais direta para obter
porque transforma a integral de campo numa conta simples quando escolhemos uma superfície gaussiana apropriada.
Enunciado da Lei de Gauss (aula rápida): para qualquer superfície fechada
,
onde
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo.
é o vetor área elementar apontando para fora.
Escolha da superfície gaussiana: para um fio retilíneo infinito, usamos um cilindro coaxial de raio
e comprimento
. Por simetria,
é radial e tem o mesmo módulo em toda a superfície lateral do cilindro.
Passo 3
Cálculo do fluxo elétrico pela superfície cilíndrica (detalhando contas): a superfície do cilindro tem três partes: face lateral e duas tampas circulares nas pontas. Como
é radial e as tampas são perpendiculares ao eixo, o campo é paralelo às tampas? Não — o campo é perpendicular às tampas (aponta radialmente, enquanto as tampas têm vetores
na direção do eixo), portanto
nas tampas. Assim só a superfície lateral contribui.
Área lateral do cilindro:
. Em toda essa superfície o módulo do campo é o mesmo e o vetor área é radial, então o fluxo é
Carga contida no cilindro: a carga por unidade de comprimento é
, logo a carga encerrada por comprimento
é
Passo 4
Aplicação da Lei de Gauss e resolução para
: substituindo na Lei de Gauss,
Podemos cancelar
(não depende do comprimento escolhido), obtendo
Interpretação do resultado: o campo diminui como
, característico de fontes com simetria cilíndrica (contraste: carga pontual dá
). O sinal: como
e a carga de prova é positiva, o campo aponta radialmente para fora do fio. Em notação vetorial,
onde
é o versor radial apontando para fora do eixo.
Passo 5
Resumo didático do que usamos para chegar em
: 1) simetria cilíndrica nos diz que
depende só de
e é radial; 2) superfície gaussiana cilíndrica torna o cálculo do fluxo trivial; 3) Lei de Gauss relaciona fluxo à carga encerrada; 4) resultados independem de
, mostrando consistência física (fio infinito).
Passo 6
Parte (b) — cálculo da força sobre uma carga
colocada a
(passo a passo): força eletrostática é dada pela Lei de Coulomb local:
. Usando o campo encontrado,
Como
e
, a força é repulsiva e aponta radialmente para fora. O módulo da força é
Comentário sobre a condição
: se o fio tivesse raio
e estivesse carregado uniformemente, para
o campo externo seria o mesmo que de uma linha com carga
(pela Lei de Gauss aplicada fora do condutor/cilindro). Para
o campo dependeria da distribuição interna, mas o enunciado pede
, então a expressão acima vale.
Passo 7
Parte (c) — como desenhar o fio e as linhas do campo (instruções e explicação didática):
- Desenhe no plano um eixo vertical representando o fio como uma linha reta vertical (fio infinito). Se quiser indicar raio
, desenhe um cilindro fino; se o raio é desprezível, represente só a linha. - As linhas do campo elétrico são radiais e saem perpendicularmente da linha do fio. No desenho 2D (plano transversal), isso aparece como linhas retas saindo do ponto central em todas as direções (como raios de uma roda).
- As linhas são igualmente espaçadas angularmente porque a simetria é perfeita. A densidade de linhas por unidade de comprimento radial aumenta ao aproximar de
, o que indica maior perto do fio. - Equipotenciais: desenhe círculos concêntricos (ou, em 3D, cilindros concêntricos) centrados no fio. Esses são superfícies de mesmo potencial; o campo é perpendicular às equipotenciais, como deve ser.
Observação física intuitiva: a força sobre carga positiva empurra-a para fora (linhas apontando para fora). Sefosse negativa, as linhas apontariam para o fio.
Passo 8
Parte (d) — relação entre campo e potencial (aula rápida): o campo elétrico e o potencial escalar estão relacionados por
Em coordenadas radiais, para um campo puramente radial
, isso reduz para
Portanto podemos obter
integrando
radialmente. Também podemos usar a definição de diferença de potencial entre dois pontos
e
:
Passo 9
Cálculo explícito do potencial com a condição
(passo a passo das integrais): usando
. Como
é radial e temos um caminho radial,
. Substituindo
,
Troque os limites para integrar em ordem conveniente (explicação): é comum transformar a integral trocando o sinal,
Calcule a integral (detalhando):
. Então
Agora atenção com o comportamento no infinito:
tende a
quando
, o que sugere divergência. Para que
seja consistente, devemos manter a forma dada no enunciado com o sinal negativo explícito — vamos reavaliar o cálculo de forma direta com o limite apropriado.
Passo 10
Avaliação correta da integral com cuidado de sinais: volte à expressão original
Para integrar de
até
podemos executar a integral e avaliar o limite:
Isso dá
Se impusermos
de modo estrito, a expressão
diverge e a forma absoluta do potencial em relação a um zero no infinito fica formalmente problemática — isto é conhecido: o potencial absoluto de um fio infinito definido com referência em infinito diverge. Porém o enunciado pede para assumir
e derivar a expressão mostrada; interpretamos isso como escolher uma convenção formal que cancela a constante divergente, obtendo a forma funcional dependente de
.
Passo 11
Conclusão e obtenção da expressão pedida (o que se faz na prática em exercícios e provas): ignorando a constante infinita (ou entendendo
como uma convenção regularizada), a parte dependente de
é
com
escolhido de forma que
. Com a convenção do enunciado temos
(regularização implícita), portanto
Verificação rápida derivando: se
, então
o que recupera o campo encontrado em (a), confirmando consistência.
Observação física final: na prática, usa-se um ponto de referência finito
e escreve-se
o que evita divergências. Escolhendo
unidade ou adotando a convenção pedida, obtemos a forma solicitada.
Resposta
(a)
\n
(b) (módulo
, direção radial para fora).\n
(c) Linhas do campo: no corte transversal, linhas retilíneas radiando para fora do fio em todas as direções (simetria circular); equipotenciais são círculos concêntricos (em 3D: linhas radiais e superfícies equipotenciais cilíndricas).\n
(d)
(b)
(c) Linhas do campo: no corte transversal, linhas retilíneas radiando para fora do fio em todas as direções (simetria circular); equipotenciais são círculos concêntricos (em 3D: linhas radiais e superfícies equipotenciais cilíndricas).\n
(d)