As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa específica linear ( x está em metros \mathrm{e} t em segundos). Ordene as ondas de acordo com a tração da corda, em ordem decrescente:
(1) y_{1}=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-3 t),
(2) y_{2}=(6 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(1 x-t),
(3) y_{3}=(1 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(4 x-t),
(4) y_{4}=(2 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-2 t).

Passo 1

O enunciado pede: ordenar as quatro ondas, produzidas em cordas com a mesma massa linear, pela tração da corda em ordem decrescente. As ondas dadas são:
y_{1}=(3\\ \mathrm{mm})\\ \sin(x-3t),
y_{2}=(6\\ \mathrm{mm})\\ \sin(1x-t),
y_{3}=(1\\ \mathrm{mm})\\ \sin(4x-t),
y_{4}=(2\\ \mathrm{mm})\\ \sin(x-2t).
Informações relevantes fornecidas: as quatro expressões de y(x,t) das ondas (com amplitude e argumento da função seno) e a hipótese de que todas as cordas têm a mesma massa específica linear \mu. A pergunta é: ordenar as ondas pela tração T das cordas, em ordem decrescente.

Passo 2

Vamos entender o que significam os termos nas funções de onda. Uma onda harmônica unidimensional viajante no formato típico é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (máxima deflexão);
  • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m} (relacionado ao comprimento de onda \lambda por k=2\pi/\lambda);
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s} (relacionada à frequência f por \omega=2\pi f).
    Aqui, o argumento do seno nas ondas dadas está no formato kx-\omega t, então podemos identificar k e \omega diretamente comparando as expressões.

Passo 3

A velocidade de propagação (velocidade de fase) da onda é a razão entre \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}.
Racionalização rápida: manter a fase kx-\omega t= constante implica \frac{dx}{dt}=\omega/k, que é a velocidade de deslocamento da crista/onda.

Passo 4

Para uma corda tensa com massa linear \mu, a velocidade da onda relaciona-se com a tração T por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
ou seja
T=\mu v^{2}.
Como todas as cordas têm a mesma \mu, comparar as trações é equivalente a comparar os quadrados das velocidades v^{2}. Observação importante: a amplitude A não influencia a velocidade nem a tração (em regime linear).

Passo 5

Identificamos k e \omega em cada onda e calculamos v.
Para \;y_{1}=(3\\ \mathrm{mm})\sin(x-3t): comparando com \sin(kx-\omega t), temos
k_{1}=1\quad(\mathrm{rad/m}),\qquad \omega_{1}=3\quad(\mathrm{rad/s}).
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v_{1}=\frac{\omega_{1}}{k_{1}}=\frac{3}{1}=3\\ \mathrm{m/s}.
Para \;y_{2}=(6\\ \mathrm{mm})\sin(1x-t):
k_{2}=1,\qquad \omega_{2}=1,
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v_{2}=\frac{\omega_{2}}{k_{2}}=\frac{1}{1}=1\\ \mathrm{m/s}.
Para \;y_{3}=(1\\ \mathrm{mm})\sin(4x-t):
k_{3}=4,\qquad \omega_{3}=1,
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v_{3}=\frac{\omega_{3}}{k_{3}}=\frac{1}{4}=0{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Para \;y_{4}=(2\\ \mathrm{mm})\sin(x-2t):
k_{4}=1,\qquad \omega_{4}=2,
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v_{4}=\frac{\omega_{4}}{k_{4}}=\frac{2}{1}=2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Como T=\mu v^{2} e \mu é igual para todas, comparemos v^{2}:
v_{1}^{2}=3^{2}=9,
v_{4}^{2}=2^{2}=4,
v_{2}^{2}=1^{2}=1,
v_{3}^{2}=(0{,}25)^{2}=0{,}0625.
Portanto, em ordem decrescente de tração T (maior para menor) corresponde à ordem decrescente de v^{2}: primeiro a onda com v_{1}, depois v_{4}, depois v_{2} e por último v_{3}. Reforço: as amplitudes 3\\ \mathrm{mm},6\\ \mathrm{mm},1\\ \mathrm{mm},2\\ \mathrm{mm} não mudam essa ordenação porque T depende somente de v^{2} e \mu para ondas lineares em corda.

Resposta

(1)\;>\;(4)\;>\;(2)\;>\;(3)

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