Considere um fio longo cilindrico de raio R percorrido por uma corrente i distribuida uniformemente ao longo de sua seção reta. Encontre os dois valores da distância ao eixo do fio para os quais a intensidade do campo magnético devido ao fio é igual a um terço (1/3) do seu valor na superficie do fio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um fio cilíndrico longo de raio com corrente distribuída uniformemente na sua seção reta. Precisamos encontrar as duas distâncias ao eixo desse fio tal que o campo magnético valha um terço do valor do campo na superfície do fio.
Conteúdo: magnetismo (campo de um fio com densidade de corrente uniforme) e Lei de Ampère. Vamos usar a Lei de Ampère pra achar dentro ( ) e fora ( ) do fio, depois igualar a .

Passo 2

Primeiro, lembrando a Lei de Ampère:
oint Bcdot dl = mu0 Irm enc
Para Irm enc = i times área de raio rárea de raio R = i,pi r^2pi R^2 = i,r^2R^2 , a corrente “presa” dentro do amperiano é
B(r),2pi r = mu0,Irm enc ;;Longrightarrow;; B(r) = mu0,i2pi,rR^2 áá
Como o campo é circular e uniforme ao longo de um círculo de raio ,

Passo 3

Para B(r),2pi r = mu0,i ;;Longrightarrow;; B(r) = mu0,i2pi,r , a corrente atravessada por nosso caminho amperiano é a total . Então

Passo 4

Na superfície ( B(R) = mu0,i2pi,R ),
B(r) = tfrac13,B(R) = mu0,i6pi,R
Queremos achar tal que

Passo 5

Caso 1: mu0,i2pi,rR^2 = mu0,i6pi,R ;;Longrightarrow;; rR^2 = 13R ;;Longrightarrow;; r = R3 . Igualando

Passo 6

Caso 2: mu0,i2pi,r = mu0,i6pi,R ;;Longrightarrow;; 1r = 13R ;;Longrightarrow;; r = 3R . Igualando

Resposta

As duas distâncias são
boxedr = R3 e r = 3R,

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