é uma solução da equação de Schrödinger na região -a2 <= x <=+a2 para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é Psi(x, t) acima. Encontre a constante de normalização A.
Resp: E=8 hbar^2 pi^2m a^2, A=raiz2a
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula “livre” (ou seja, potencial zero) confinada num poço infinito de largura Psi(x,t)= A ,sin!l(tfrac4pi xar),e^-iEt/hbar,& -tfraca2<= x<=+tfraca2, 0,&fora disso , de ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2+V(x)Psi, até . A função de onda é
Precisamos (1) mostrar que isso resolve a equação de Schrödinger dependente do tempo naquela região livre, achando a energia , e (2) encontrar a constante de normalização . A teoria envolvida é a do poço infinito e a equação de Schrödinger:
com dentro do poço.
Passo 2
Primeiro, confere se a função satisfaz
ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2
– Derivada temporal:
partialPsipartial t =Asin!l(tfrac4pi xar),partialpartial tl(e^-iEt/hbarr) =Asin!l(tfrac4pi xar),l(-iEhbarr)e^-iEt/hbar =-iEhbar,Psi
Multiplicando por ihbar,partialPsipartial t =ihbarl(-iEhbarr)Psi =E,Psi :