Verifique que a função:
Psi(x, t)=l A sin 4 pi xa e^-i E thbar se -a2 <= x <=+a2 0 se x<-a2 ou x>+a2
é uma solução da equação de Schrödinger na região -a2 <= x <=+a2 para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é Psi(x, t) acima. Encontre a constante de normalização A.
Resp: E=8 hbar^2 pi^2m a^2, A=raiz2a

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula “livre” (ou seja, potencial zero) confinada num poço infinito de largura Psi(x,t)= A ,sin!l(tfrac4pi xar),e^-iEt/hbar,& -tfraca2<= x<=+tfraca2, 0,&fora disso , de ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2+V(x)Psi, até . A função de onda é
Precisamos (1) mostrar que isso resolve a equação de Schrödinger dependente do tempo naquela região livre, achando a energia , e (2) encontrar a constante de normalização . A teoria envolvida é a do poço infinito e a equação de Schrödinger:
com dentro do poço.

Passo 2

Primeiro, confere se a função satisfaz
ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2
– Derivada temporal:
partialPsipartial t =Asin!l(tfrac4pi xar),partialpartial tl(e^-iEt/hbarr) =Asin!l(tfrac4pi xar),l(-iEhbarr)e^-iEt/hbar =-iEhbar,Psi
Multiplicando por ihbar,partialPsipartial t =ihbarl(-iEhbarr)Psi =E,Psi :
partial^2partial x^2sin!l(tfrac4pi xar) =-l(tfrac4piar)^2,sin!l(tfrac4pi xar)
– Derivada espacial segunda:
-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2 =-hbar^22ml[-l(tfrac4piar)^2r]Psi =hbar^22m,16pi^2a^2,Psi =8hbar^2pi^2m a^2,Psi
Logo,
E=8hbar^2pi^2m a^2
Para bater com o lado esquerdo ( ), a gente precisa de

Passo 3

Agora normalização: exige-se
integral-a2^+a2|Psi|^2,dx=1,
e dentro do poço A^2integral-a2^+a2sin^2!l(tfrac4pi xar),dx=1 . Então
A^2;a2=1 Longrightarrow A=raiz2a
Sabendo que para inteiro , aqui e , dá

Resposta

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