Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda e um ponto P a uma distância s do fio. Escolha os eixo cartesianos de modo que o fio esteja ao longo do eixo \mathcal{O} \mathcal{Z}.
(a) Utilize o resultado do problema 8 da lista de estudos 2 e encontre uma expressão para o potencial elétrico em P como função de s. Explicite em qual ponto de referência foi adotado V=0.
(b) Considere que, coaxial ao fio, é colocada uma casca condutora neutra cilíndrica de raio a. Obtenha uma nova expressão para o potencial elétrico em P nessa nova configuração. Considere todas as regiões possíveis do espaço, isto é, s<a e s>a.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Temos um fio retilíneo e infinito carregado com densidade linear de carga \lambda. O fio está ao longo do eixo \mathcal{O}\mathcal{Z}.
  • Há um ponto P a uma distância radial s do eixo (distância perpendicular ao fio).
  • Perguntas:
    (a) Usando o resultado do problema 8 (ou seja, o campo elétrico de um fio infinito), encontrar uma expressão para o potencial elétrico em P como função de s. Explicitar em qual ponto foi adotado V=0.
    (b) Agora colocar, coaxial ao fio, uma casca condutora neutra de raio a. Obter a nova expressão do potencial em P para todas as regiões possíveis: s<a e s>a.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • Geometria cilíndrica e simetria axial.
  • Resultado usado do problema 8: o campo elétrico radial devido a um fio infinito com densidade linear \lambda (este resultado será relembrado e usado).
  • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_0.

Passo 2

Relembrando e derivando (passo a passo) o campo elétrico de um fio infinito — este é o “problema 8” referido.
  • O que é Gauss: o Teorema de Gauss diz que para um volume fechado qualquer,
\oint_{\partial V} \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total envolvida.
  • Por simetria: para um fio infinito, o campo \vec E é radial (direção \hat s), depende só da distância radial s e tem mesma magnitude em qualquer ponto de um cilindro coaxial. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio s e comprimento L. A área lateral vale A_{\text{lat}}=2\pi s L. Nas tampas superiores/inferiores \vec E é paralelo ao eixo, então contribuição é zero.
  • Carga interna: Q_{\text{int}}=\lambda L.
Aplicando Gauss,
E(s)\, (2\pi s L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}.
Aqui E(s) é a componente radial do campo, apontando para fora se \lambda>0.

Passo 3

Relação entre campo elétrico e potencial elétrico — a fórmula que vamos usar:
  • Definição de diferença de potencial entre dois pontos A e B:
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec l.
Em eletrostática a integral é independente do caminho, então podemos integrar ao longo da direção radial.
  • Observação importante sobre referência: para cargas com distribuição que faz o potencial divergir em infinito (como o fio infinito), não é possível escolher V(\infty)=0. Portanto escolheremos um referencial radial finito s_0 e definiremos V(s_0)=0 (ou outra convenção conveniente). Vou explicitar a escolha ao final do item (a) e usar depois uma conveniência prática no item (b).

Passo 4

Cálculo do potencial no caso do fio sem casca (item a).
  • Tomamos dois raios s_0 (referência, onde definimos V(s_0)=0) e s. Integrando radialmente (o campo é radial),
V(s)-V(s_0)=-\int_{s_0}^{s} E(s')\,ds'=-\int_{s_0}^{s}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s'}\,ds'.
  • A integral é elementar:
-\int_{s_0}^{s}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s'}\,ds'=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{s_0}\right).
  • Portanto, com a escolha V(s_0)=0,
V(s)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{s_0}\right).
Comentário didático: aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \lambda é carga por unidade de comprimento do fio, s é a distância do ponto ao eixo. A função logarítmica aparece porque o campo varia como 1/s. Note que se tentássemos escolher s_0\to\infty (i.e. V(\infty)=0) a expressão diverge: o potencial de um fio infinito não pode ser fixado em zero no infinito — por isso é obrigatório escolher uma referência radial finita s_0.

Passo 5

Agora a casca condutora neutra coaxial (item b): física do condutor e indução de cargas.
  • Um condutor em equilíbrio eletrostático é um corpo equipotencial (potencial constante em toda a massa do metal) e o campo dentro do metal é zero.
  • Colocando o fio carregado coaxialmente dentro de uma casca condutora neutra, cargas se redistribuem na casca:
    • A superfície interna da casca adquire carga -\lambda por unidade de comprimento (para anular o campo no metal).
    • A superfície externa da casca adquire carga +\lambda por unidade de comprimento (para conservar neutralidade da casca).
  • Essas conclusões vêm diretamente de aplicar Gauss: uma superfície gaussiana situada dentro do metal (entre superfícies internas/externas) deve notar campo nulo, logo a carga interna (fio + carga da superfície interna) deve somar zero, daí carga interna da casca é -\lambda.

Passo 6

Campo elétrico nas regiões e cálculo das potencias (integração explícita):
Definimos a superfície do condutor com raio a. O potencial do condutor é uma constante V(a). Para obter expressões explícitas, é conveniente fixar V(a)=0 (ou qualquer outra constante); eu escolho V(a)=0 porque simplifica as fórmulas e é uma escolha física perfeitamente válida (é só uma referência).
Região 1: 0<s<a (dentro do cilindro oco, entre fio e casca)
  • Carga total encerrada por uma superfície cilíndrica de raio s é apenas a do fio: Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • Logo
E(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\quad (0<s<a).
  • Potencial relativo a V(a)=0:
V(s)-V(a)=-\int_{a}^{s}E(s')\,ds'=-\int_{a}^{s}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s'}\,ds' =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right).
Com V(a)=0,
V(s)= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{a}{s}\right),\qquad(0<s<a).
Região 2: s=a (superfície do condutor)
  • Por definição escolhida, V(a)=0. Também o campo dentro do metal (exatamente em s=a para a fronteira interna→metal) é zero no interior do metal; mas no limite radial externo a campo aparece conforme abaixo.
Região 3: s>a (fora da casca)
  • Para s>a a carga total encerrada por uma superfície cilíndrica longa de raio s é a soma: carga do fio \lambda mais todas as cargas na casca. A casca é neutra, então carga total da casca é zero; portanto, a carga total encerrada é \lambda. Consequentemente o campo fora é novamente
E(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\quad (s>a).
  • Potencial, integrando de a até s e usando V(a)=0:
V(s)-V(a)=-\int_{a}^{s}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s'}\,ds' =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right).
Com V(a)=0, portanto
V(s)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right),\qquad(s>a).
Comentário físico curto: o campo fora da casca é o mesmo que no caso sem casca (porque a casca é neutra); o que muda é que dentro da cavidade a casca impõe que o potencial no raio a seja constante, então é natural (e útil) escolher V(a)=0 como referência.

Passo 7

Resumo das fórmulas obtidas e observações finais (lembretes práticos):
  • Fórmulas importantes e interpretação:
    • Em geral, para o fio isolado e tomando referência V(s_0)=0,
    V(s)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{s_0}\right).Aqui foi escolhido explicitamente V(s_0)=0. Não é possível escolher s_0=\infty porque o potencial diverge logaritmicamente no infinito.
    • Com a casca condutora neutra e escolhendo V(a)=0 (referência na superfície do condutor):
      • Para 0<s<a:
      V(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{a}{s}\right).
      • Para s>a:
      V(s)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right).
  • Nota rápida de verificação: as expressões acima satisfazem continuidade do potencial na superfície s=a (ambas dão V(a)=0) e o campo obtido ao derivar V recupera E(s)=\lambda/(2\pi\varepsilon_0 s) nas regiões onde há campo.

Resposta

(a) V(s)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{s}{s_0}\right), com V(s_0)=0 (referência escolhida em s_0, não é possível tomar s_0=\infty).\n
(b) Escolhendo V(a)=0 (referência na superfície do condutor):
s<a:\;V(s)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{a}{s}\right)\n
s>a:\;V(s)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{s}{a}\right)

Exercícios relacionados