Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga
e um ponto
a uma distância
do fio. Escolha os eixo cartesianos de modo que o fio esteja ao longo do eixo
.
(a) Utilize o resultado do problema 8 da lista de estudos 2 e encontre uma expressão para o potencial elétrico em P como função de
. Explicite em qual ponto de referência foi adotado
.
(b) Considere que, coaxial ao fio, é colocada uma casca condutora neutra cilíndrica de raio
. Obtenha uma nova expressão para o potencial elétrico em P nessa nova configuração. Considere todas as regiões possíveis do espaço, isto é,
e
.
(a) Utilize o resultado do problema 8 da lista de estudos 2 e encontre uma expressão para o potencial elétrico em P como função de
(b) Considere que, coaxial ao fio, é colocada uma casca condutora neutra cilíndrica de raio
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos:
- Temos um fio retilíneo e infinito carregado com densidade linear de carga
. O fio está ao longo do eixo . - Há um ponto
a uma distância radial do eixo (distância perpendicular ao fio). - Perguntas:
(a) Usando o resultado do problema 8 (ou seja, o campo elétrico de um fio infinito), encontrar uma expressão para o potencial elétrico emcomo função de . Explicitar em qual ponto foi adotado .
(b) Agora colocar, coaxial ao fio, uma casca condutora neutra de raio. Obter a nova expressão do potencial em para todas as regiões possíveis: e .
Informações relevantes dadas/assumidas:
- Geometria cilíndrica e simetria axial.
- Resultado usado do problema 8: o campo elétrico radial devido a um fio infinito com densidade linear
(este resultado será relembrado e usado). - Constante dielétrica do vácuo:
.
Passo 2
Relembrando e derivando (passo a passo) o campo elétrico de um fio infinito — este é o “problema 8” referido.
- O que é Gauss: o Teorema de Gauss diz que para um volume fechado qualquer,
onde
é a carga total envolvida.
-
Por simetria: para um fio infinito, o campo
é radial (direção ), depende só da distância radial e tem mesma magnitude em qualquer ponto de um cilindro coaxial. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento . A área lateral vale . Nas tampas superiores/inferiores é paralelo ao eixo, então contribuição é zero. -
Carga interna:
.
Aplicando Gauss,
Aqui
é a componente radial do campo, apontando para fora se
.
Passo 3
Relação entre campo elétrico e potencial elétrico — a fórmula que vamos usar:
- Definição de diferença de potencial entre dois pontos
e :
Em eletrostática a integral é independente do caminho, então podemos integrar ao longo da direção radial.
- Observação importante sobre referência: para cargas com distribuição que faz o potencial divergir em infinito (como o fio infinito), não é possível escolher
. Portanto escolheremos um referencial radial finito e definiremos (ou outra convenção conveniente). Vou explicitar a escolha ao final do item (a) e usar depois uma conveniência prática no item (b).
Passo 4
Cálculo do potencial no caso do fio sem casca (item a).
- Tomamos dois raios
(referência, onde definimos ) e . Integrando radialmente (o campo é radial),
- A integral é elementar:
- Portanto, com a escolha
,
Comentário didático: aqui
é a permissividade do vácuo,
é carga por unidade de comprimento do fio,
é a distância do ponto ao eixo. A função logarítmica aparece porque o campo varia como
. Note que se tentássemos escolher
(i.e.
) a expressão diverge: o potencial de um fio infinito não pode ser fixado em zero no infinito — por isso é obrigatório escolher uma referência radial finita
.
Passo 5
Agora a casca condutora neutra coaxial (item b): física do condutor e indução de cargas.
- Um condutor em equilíbrio eletrostático é um corpo equipotencial (potencial constante em toda a massa do metal) e o campo dentro do metal é zero.
- Colocando o fio carregado coaxialmente dentro de uma casca condutora neutra, cargas se redistribuem na casca:
- A superfície interna da casca adquire carga
por unidade de comprimento (para anular o campo no metal). - A superfície externa da casca adquire carga
por unidade de comprimento (para conservar neutralidade da casca).
- A superfície interna da casca adquire carga
- Essas conclusões vêm diretamente de aplicar Gauss: uma superfície gaussiana situada dentro do metal (entre superfícies internas/externas) deve notar campo nulo, logo a carga interna (fio + carga da superfície interna) deve somar zero, daí carga interna da casca é
.
Passo 6
Campo elétrico nas regiões e cálculo das potencias (integração explícita):
Definimos a superfície do condutor com raio
. O potencial do condutor é uma constante
. Para obter expressões explícitas, é conveniente fixar
(ou qualquer outra constante); eu escolho
porque simplifica as fórmulas e é uma escolha física perfeitamente válida (é só uma referência).
Região 1:
(dentro do cilindro oco, entre fio e casca)
- Carga total encerrada por uma superfície cilíndrica de raio
é apenas a do fio: . - Logo
- Potencial relativo a
:
Com
,
Região 2:
(superfície do condutor)
- Por definição escolhida,
. Também o campo dentro do metal (exatamente em para a fronteira interna→metal) é zero no interior do metal; mas no limite radial externo a campo aparece conforme abaixo.
Região 3:
(fora da casca)
- Para
a carga total encerrada por uma superfície cilíndrica longa de raio é a soma: carga do fio mais todas as cargas na casca. A casca é neutra, então carga total da casca é zero; portanto, a carga total encerrada é . Consequentemente o campo fora é novamente
- Potencial, integrando de
até e usando :
Com
, portanto
Comentário físico curto: o campo fora da casca é o mesmo que no caso sem casca (porque a casca é neutra); o que muda é que dentro da cavidade a casca impõe que o potencial no raio
seja constante, então é natural (e útil) escolher
como referência.
Passo 7
Resumo das fórmulas obtidas e observações finais (lembretes práticos):
- Fórmulas importantes e interpretação:
- Em geral, para o fio isolado e tomando referência
,
Aqui foi escolhido explicitamente . Não é possível escolher porque o potencial diverge logaritmicamente no infinito. - Com a casca condutora neutra e escolhendo
(referência na superfície do condutor): - Para
:
- Para
:
- Para
- Em geral, para o fio isolado e tomando referência
- Nota rápida de verificação: as expressões acima satisfazem continuidade do potencial na superfície
(ambas dão ) e o campo obtido ao derivar recupera nas regiões onde há campo.
Resposta
(a)
, com
(referência escolhida em
, não é possível tomar
).\n
(b) Escolhendo (referência na superfície do condutor):
\n
(b) Escolhendo