Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
Considere a situação (II): um fio infinito de espessura desprezível uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda>0 e uma superfície gaussiana cúbica de lado a. O fio intercepta duas faces paralelas dessa superfície gaussiana, passando pelo ponto central de cada face como indica a figura. O ponto A está localizado sobre uma face dessa superfície e o ponto B, não.
( ) O campo eletrostático no ponto A se deve apenas à carga elétrica liquída contida no interior da região delimitada pela gaussiana.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estas informações do enunciado e da figura).
  • Dado: um fio infinito de espessura desprezível com densidade linear de carga \lambda>0.
  • Dado: uma superfície gaussiana cúbica de lado a. O fio intercepta duas faces paralelas desse cubo, passando pelo ponto central de cada uma dessas faces (isto está indicado na figura).
  • Dado: o ponto A está localizado sobre uma face dessa superfície gaussiana; o ponto B não está sobre a face.
  • Pedido: julgar a afirmativa “O campo eletrostático no ponto A se deve apenas à carga elétrica líquida contida no interior da região delimitada pela gaussiana.” — ou seja, decidir se é verdadeiro ou falso e justificar.

Passo 2

Vou recordar a lei de Gauss e o que ela realmente diz (isso é fundamental para não confundir fluxo com campo num ponto).
  • A lei de Gauss em forma integral é
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico total através da superfície fechada S;
  • Q_{\text{int}} é a carga líquida contida no interior dessa superfície;
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Importante: a lei relaciona o fluxo total através de toda a superfície com a carga interior. Ela NÃO afirma que o campo elétrico \mathbf{E} em um ponto específico da superfície seja determinado apenas por Q_{\text{int}}.

Passo 3

Explicando o princípio da superposição (outra peça chave): o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por todas as cargas.
  • Escrevemos
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_{\text{int}}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{r}),
onde:
  • \mathbf{E}_{\text{int}}(\mathbf{r}) é o campo no ponto \mathbf{r} devido às cargas que estão dentro da superfície fechada;
  • \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{r}) é o campo devido às cargas que estão fora da superfície fechada.
  • Não há nenhuma propriedade geral que force \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{r}) a ser nula num ponto da superfície; em geral \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{r})\neq\mathbf{0}.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto do fio infinito que atravessa o cubo:
  • O fio é infinito, logo há cargas em toda parte ao longo do eixo do fio, por dentro e por fora do cubo.
  • O campo produzido por um fio infinito, à distância perpendicular r do fio, tem magnitude (resultado clássico, obtido por simetria cilíndrica)
E_{\text{fio}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Esse E_{\text{fio}}(r) é o campo devido à carga total do fio (toda a linha infinita).
  • Se tentarmos considerar apenas a porção do fio que está dentro do cubo (um segmento finito de comprimento, digamos L), o campo produzido exclusivamente por esse segmento no ponto A seria bem diferente da expressão acima (o campo de um segmento finito decai de forma diferente e depende dos extremos do segmento). Logo a contribuição das partes do fio que estão fora do cubo não é desprezível nem necessariamente cancelada em A.
  • Em termos intuitivos: partes do fio fora do cubo (próximas ao ponto A) geram campo em A; embora o fluxo combinado gerado por todas as cargas externas através da superfície fechada possa somar zero, os campos locais produzidos por elas não precisam se anular em um ponto específico da superfície.

Passo 5

Um exemplo-argumento simples e direto:
  • Divida a linha em três partes: (i) segmento dentro do cubo, (ii) parte externa para um lado, (iii) parte externa para o outro lado.
  • As partes externas (ii) e (iii) estão em posições diferentes em relação a A; em geral suas contribuições ao campo em A não se cancelam. Assim \mathbf{E}_{\text{ext}}(A) costuma ser diferente de zero.
  • Portanto o campo no ponto A NÃO é determinado apenas por Q_{\text{int}}; ele recebe contribuição das cargas internas e das externas.

Passo 6

Observação final útil para a prova (motivacional e prática):
  • A confusão é comum: Gauss dá informação sobre fluxo total, e em situações de alta simetria (plano infinito, fio infinito no exterior de um cilindro coaxial, esfera simétrica, etc.) é possível usar Gauss para encontrar o valor do campo em pontos porque a simetria permite saber como \mathbf{E} se comporta. Mas isso só vale quando a distribuição externa é tal que impõe a simetria. No enunciado do cubo com o fio atravessando, não existe motivo para concluir que cargas externas não afetam o campo em A. Portanto não se deve confundir “fluxo ligado à carga interna” com “campo local ligado apenas à carga interna”.

Resposta

Falso.

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