Desafio! O objetivo desse problema é calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio
uniformemente carregada com carga total
utilizando dois procedimentos diferentes.
(a) Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Calcule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.
(b) Calcule a auto-energia da esfera utilizando a expressão para a energia eletrostática
de uma distribuição contínua qualquer de cargas
onde
é a região onde a densidade volumar de cargas é diferente de zero. Confira o resultado com o do item anterior.
(a) Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Calcule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.
(b) Calcule a auto-energia da esfera utilizando a expressão para a energia eletrostática
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com carga total
distribuída uniformemente no volume (densidade volumétrica constante). As tarefas são duas:
- (a) Calcular o trabalho total (energia) necessário para “desfazer” a esfera levando cada casca concêntrica para o infinito — ou seja, montar a esfera casca a casca, escrevendo o trabalho elementar para trazer uma casca desde o infinito até a posição
. - (b) Calcular a energia usando a fórmula da energia eletrostática para uma distribuição contínua:
onde
é o volume da esfera. Em (b) será necessário conhecer a densidade
e o potencial
dentro da esfera (
).
Informações relevantes dadas/que usaremos (pegas do enunciado):
- Raio:
. - Carga total:
. - Distribuição: uniforme no volume
densidade volumétrica constante . - Região de integração em (b):
.
Passo 2
Preparação das expressões básicas (densidade, carga contida, casca elementar).
- A densidade volumétrica uniforme é a carga total dividida pelo volume da esfera:
Expliquei:
é carga por unidade de volume, então divide-se
por
.
- A carga contida numa esfera de raio
é proporcional ao volume :
Expliquei: multiplica-se a densidade pelo volume da esfera de raio
.
- A casca esférica fina entre
e tem volume e carga elementar
Expliquei: a área de uma superfície esférica é
; multiplicando por espessura
dá o volume da casca fina.
Passo 3
Método (a) — montando a esfera casca a casca: expressão do potencial em
devido à carga já reunida no interior e trabalho elementar.
- Quando já montamos até o raio
, a carga interior é (escrevi acima). A casca fina de carga que trazemos do infinito até a posição “vê” o potencial devido apenas à carga interior (porque, ao trazê-la de fora, a própria casca não contribui para o potencial naquele momento). O potencial, no ponto da casca, devido à carga interior é o potencial de uma carga pontual situada no centro:
Expliquei: para
dentro da esfera, a contribuição da carga interna age como se estivesse concentrada no centro (Lei de Gauss / simetria esférica), então
. Substitui
e simplifica para obter
na casca.
- O trabalho (energia) elementar para trazer a casca
desde o infinito até é
Substituindo
e
:
Agora substituo
para obter uma expressão apenas em
.
Passo 4
Continuação do método (a): simplificação e integração.
- Substituindo
em e na expressão de :
Expliquei: os
cancelam, ficando expressão simples.
- Então
- Agora integro de
até para obter a energia total:
Calculo do integral:
- Substituindo:
Portanto, pelo método (a):
Passo 5
Método (b) — usar
. Vou obter
dentro da esfera e integrar.
- Primeiro, o campo elétrico dentro da esfera (pela Lei de Gauss): para
,
Expliquei: a carga interna é
; dividindo por
dá
.
- O potencial absoluto
(escolhendo ) pode ser obtido integrando o campo radialmente. Mais simples é usar (potencial na superfície) e integrar do raio para :
Calcule a integral:
Então
Substituindo
e rearranjando obtemos a forma padrão:
Expliquei: verifique em
recupera
; em
obtém
.
Passo 6
Aplicar a fórmula
usando
e
obtidos.
- A integral se reduz, por simetria esférica, a
Expliquei:
em coordenadas esféricas para função radial só.
- Substituo
e :
Simplifico fatores constantes antes de integrar:
Expliquei: juntei
,
e o
que vem do elemento de volume.
- O integrando expande para
. Então calculo:
- Substituindo este resultado na expressão de
:
Simplificando:
Portanto o método (b) dá o mesmo resultado que (a).
Passo 7
Interpretação e comentário final (curto, motivador).
- O número
é menor que ou maior? Na verdade e ; para comparação: uma casca esférica fina com a mesma carga teria energia . A distribuição volumétrica espalha a carga pelo interior, aumentando o custo de montar a esfera (a energia cresce para 0,6 em vez de 0,5 multiplicado por ). - Conclusão: os dois procedimentos coincidem, como deveria, pois representam a mesma energia física (energia necessária para montar a distribuição de cargas).