Considere fixado um sistema ortogonal de coordenadas.
Obtenha um vetor normal ao plano \pi os seguintes casos: \pi tem equações paramétricas \left\{\begin{array}{l}x=1+\alpha \\\ y=2-\alpha+\beta \\\ z=\alpha-2 \beta\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas do plano \pi\) em função dos parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\):
\[\begin{cases} x=1+\alpha\\[4pt] y=2-\alpha+\beta\\[4pt] z=\alpha-2\beta \end{cases}
O que se pede: obter um vetor normal ao plano (\pi].
Informações relevantes fornecidas:
Há dois parâmetros independentes \alpha e \beta.
A partir das equações paramétricas podemos identificar um ponto no plano (quando \alpha=0,\beta=0 temos o ponto (1,2,0)) e dois vetores diretores do plano (correspondentes às variações ao variar \alpha e \beta).
Esses vetores diretores serão usados para obter o vetor normal.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): representar o vetor posição do plano como
onde \mathbf{r_0} é um ponto fixo do plano e \mathbf{u},\mathbf{v} são vetores diretores. Um vetor normal ao plano é qualquer vetor ortogonal aos dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Para obter um vetor ortogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v} usa-se o produto vetorial (ou cross product): se
Esse vetor é perpendicular a \mathbf{u} e a \mathbf{v}. Observação prática: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é um vetor normal válido (não importa o sinal ou constante).
Passo 3
Identificar \mathbf{r_0}, \mathbf{u} e \mathbf{v} a partir das equações paramétricas. A forma dada corresponde a
Como os produtos escalares são zero, \mathbf{n} é realmente normal ao plano. Lembre-se: qualquer múltiplo escalar de (1,2,1) também é uma resposta correta.