Considere fixado um sistema ortogonal de coordenadas.
Obtenha um vetor normal ao plano \pi os seguintes casos:
\pi tem equações paramétricas \left\{\begin{array}{l}x=1+\alpha \\\ y=2-\alpha+\beta \\\ z=\alpha-2 \beta\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas do plano \pi\) em função dos parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\): \[\begin{cases} x=1+\alpha\\[4pt] y=2-\alpha+\beta\\[4pt] z=\alpha-2\beta \end{cases}
O que se pede: obter um vetor normal ao plano (\pi].
Informações relevantes fornecidas:
  • Há dois parâmetros independentes \alpha e \beta.
  • A partir das equações paramétricas podemos identificar um ponto no plano (quando \alpha=0,\beta=0 temos o ponto (1,2,0)) e dois vetores diretores do plano (correspondentes às variações ao variar \alpha e \beta).
  • Esses vetores diretores serão usados para obter o vetor normal.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada didaticamente): representar o vetor posição do plano como
\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r_0} é um ponto fixo do plano e \mathbf{u},\mathbf{v} são vetores diretores. Um vetor normal ao plano é qualquer vetor ortogonal aos dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Para obter um vetor ortogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v} usa-se o produto vetorial (ou cross product): se
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
então o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é dado por
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Esse vetor é perpendicular a \mathbf{u} e a \mathbf{v}. Observação prática: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é um vetor normal válido (não importa o sinal ou constante).

Passo 3

Identificar \mathbf{r_0}, \mathbf{u} e \mathbf{v} a partir das equações paramétricas. A forma dada corresponde a
\mathbf{r}=(x,y,z)=(1,2,0)+\alpha\,(1,-1,1)+\beta\,(0,1,-2).
Assim:
\mathbf{r_0}=(1,2,0),\qquad \mathbf{u}=(1,-1,1),\qquad \mathbf{v}=(0,1,-2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v} passo a passo usando a fórmula:
Primeiro componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot(-2) - (1)\cdot(1) = 2-1 = 1.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = (1)\cdot 0 - (1)\cdot(-2) = 0+2 = 2.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = (1)\cdot 1 - (-1)\cdot 0 = 1-0 = 1.
Portanto
\mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(1,2,1).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): conferir que \mathbf{n} é ortogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v} calculando produtos escalares.
\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=1\cdot1+(-1)\cdot2+1\cdot1=1-2+1=0,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0\cdot1+1\cdot2+(-2)\cdot1=0+2-2=0.
Como os produtos escalares são zero, \mathbf{n} é realmente normal ao plano. Lembre-se: qualquer múltiplo escalar de (1,2,1) também é uma resposta correta.

Resposta

(1,2,1)

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