Verifique se a reta r está contida no plano \pi, dados:
\pi: \mathrm{X}=(1,4,1)+\lambda(1,-1,1)+\mu(-1,2,-1) e r passa pelos pontos \mathrm{A}=(2,3,2) e \mathrm{B}=(0,0,1)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: verificar se a reta r está contida no plano \pi.
  • Dados:
    • Plano \pi em forma paramétrica com um ponto e dois vetores diretores: \mathrm{X}=(1,4,1)+\lambda(1,-1,1)+\mu(-1,2,-1).Aqui o ponto do plano é (1,4,1) e os vetores diretores do plano são (1,-1,1) e (-1,2,-1).
    • Reta r passa pelos pontos
      \mathrm{A}=(2,3,2) e \mathrm{B}=(0,0,1).

Passo 2

Como testar, em linguagem prática (sem resolver ainda).
  • Uma reta r passa por A e B. Seja o vetor diretor de r o vetor \overrightarrow{AB}.
  • Para que r esteja contida em \pi é necessário e suficiente que:
    1. o vetor diretor de r pertença ao espaço gerado pelos vetores diretores do plano (isto é, seja combinação linear deles); e
    2. um ponto de r (por exemplo A) pertença ao plano \pi.
  • Alternativamente, basta verificar que os dois pontos A e B pertencem a \pi; se ambos pertencem, a reta entre eles fica inteiramente no plano.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Calcular o vetor diretor da reta r.
  • O vetor \overrightarrow{AB} é dado por subtrair coordenadas: \overrightarrow{AB}= \mathrm{B}-\mathrm{A}=(0-2,\;0-3,\;1-2)=(-2,-3,-1).
  • Denoto v_r=\overrightarrow{AB}=(-2,-3,-1).

Passo 4

Testar se [v_r) é combinação linear dos vetores diretores do plano.
  • Vetores diretores do plano: u_1=(1,-1,1) e u_2=(-1,2,-1).
  • Procuro escalares \alpha e \beta tais que \alpha u_1 + \beta u_2 = v_r.Em coordenadas isso dá o sistema \begin{cases} \alpha - \beta = -2,\\[4pt] -\alpha + 2\beta = -3,\\[4pt] \alpha - \beta = -1. \end{cases}As equações para as componentes x\] e \(z são, respectivamente, \alpha-\beta=-2 e \alpha-\beta=-1.
  • Essas duas equações são contraditórias (não podem ser verdadeiras simultaneamente). Logo não existem \alpha,\beta que resolvam o sistema.
  • Conclusão parcial: o vetor diretor v_r NÃO pertence ao espaço gerado por u_1 e u_2. Portanto a reta não pode estar inteiramente no plano (pois uma reta contida no plano teria seu vetor diretor dentro do espaço de direções do plano).]

Passo 5

Verificação adicional (opcional, mas útil pedagogicamente): checar se os pontos [A) e B pertencem ao plano.
  • Testar A=(2,3,2): procurar \lambda,\mu tais que
    (1,4,1)+\lambda(1,-1,1)+\mu(-1,2,-1)=(2,3,2).
    Isso gera o sistema
    \begin{cases} 1+\lambda-\mu=2,\\[4pt] 4-\lambda+2\mu=3,\\[4pt] 1+\lambda-\mu=2. \end{cases}
    Das equações das componentes x\] e \[z temos \lambda-\mu=1. Substituindo na da componente y:
    -\lambda+2\mu=-1.
    Da primeira \lambda=1+\mu. Substituindo: - (1+\mu)+2\mu=-1\Rightarrow -1+\mu=-1\Rightarrow \mu=0, então \lambda=1.
    Como há solução (\lambda,\mu)=(1,0), o ponto A pertence ao plano \pi.
  • Testar B=(0,0,1): procurar \lambda,\mu tais que
    (1,4,1)+\lambda(1,-1,1)+\mu(-1,2,-1)=(0,0,1).
    Isso dá
    \begin{cases} 1+\lambda-\mu=0,\\[4pt] 4-\lambda+2\mu=0,\\[4pt] 1+\lambda-\mu=1. \end{cases}
    Note que as equações das componentes x\] e \(z são 1+\lambda-\mu=0 e 1+\lambda-\mu=1, que são contraditórias. Portanto não existe (\lambda,\mu) que coloque B no plano; logo B não pertence a \pi.
  • Interpretação: apenas A está no plano, B não. Assim a reta r intersecta o plano em A mas não está contida nele.]

Passo 6

Conclusão final, com resumo didático e motivador.
  • Para estar contida, uma reta precisa ter seu vetor diretor dentro do plano e um ponto do seu conjunto no plano (ou, equivalentemente, ambos os pontos que definem a reta estarem no plano). Aqui encontramos que A está no plano mas o vetor diretor \overrightarrow{AB}=(-2,-3,-1) não é combinação linear dos vetores diretores do plano; e B não pertence ao plano. Portanto a reta r NÃO está contida no plano \pi.
  • Observação prática para a prova: ao checar se uma reta está num plano, a forma mais rápida é calcular o vetor diretor da reta e tentar resolver \alpha u_1+\beta u_2=v_r. Se isso falhar, a reta não está no plano; caso isso dê certo, aí verifica-se se um ponto da reta pertence ao plano (resolvendo para \lambda,\mu). Mantém essa rotina e você economiza tempo!

Resposta

Não, a reta r não está contida no plano \pi.

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