Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1). Em cada um dos casos a seguir, ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja \frac{1}{2}. A=(1,3,2),B =(2,2,2)
Passo 1
O enunciado dá os pontos P=(1,0,1), Q=(0,1,1), A=(1,3,2) e B=(2,2,2).
Pede-se: achar um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja \tfrac{1}{2}.
Passo 2
Primeiro vamos parametrizar a reta PQ. O vetor diretor de PQ é
Esse vetor é perpendicular tanto a u quanto a v e seu comprimento \|u\times v\| mede a área do paralelogramo gerado por u e v; metade disso dá a área do triângulo.
Observação importante: o resultado não depende de t. Uma razão geométrica para isso é que \overrightarrow{PQ}=(-1,1,0)=-\overrightarrow{AB}, ou seja, \overrightarrow{AB} é paralelo a \overrightarrow{PQ}. Assim, ao variar C sobre a reta PQ estamos apenas adicionando um múltiplo de \overrightarrow{AB} a \overrightarrow{AC}, e o termo em t não contribui para \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Esse valor é fixo para qualquer C na reta PQ (pois o produto vetorial não depende de t). Numericamente \tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx1{,}658, que é maior que \tfrac{1}{2}=0{,}5.
Passo 7
Conclusão: como a área de ABC é a mesma para todo ponto C da reta PQ e vale \tfrac{1}{2}\sqrt{11}, não existe ponto C na reta PQ que torne a área igual a \tfrac{1}{2}.
Resposta
Não existe ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja \tfrac{1}{2}. A área para qualquer C na reta é \tfrac{1}{2}\sqrt{11}.