Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1). Em cada um dos casos a seguir, ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja \frac{1}{2}.
A=(1,3,2),B =(2,2,2)

Passo 1

O enunciado dá os pontos
P=(1,0,1), Q=(0,1,1), A=(1,3,2) e B=(2,2,2).
Pede-se: achar um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja \tfrac{1}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar a reta PQ. O vetor diretor de PQ é
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-1,\,1-0,\,1-1)=(-1,1,0).
Tomando parâmetro t\in\mathbb{R}, um ponto genérico C da reta PQ é
C=P+t\overrightarrow{PQ}=(1,0,1)+t(-1,1,0)=(1-t,\;t,\;1).
Aqui t=0 C=P e t=1 C=Q. Qualquer t real dá um ponto da reta.

Passo 3

Calculemos os vetores que usam na área do triângulo:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;2-3,\;2-2)=(1,-1,0).
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-t-1,\;t-3,\;1-2)=(-t,\;t-3,\;-1).

Passo 4

Fórmula importante: a área de um triângulo no espaço determinado por vértices A,B,C é
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.Á
Aqui \times é o produto vetorial (cross product). Para dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) vale
u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Esse vetor é perpendicular tanto a u quanto a v e seu comprimento \|u\times v\| mede a área do paralelogramo gerado por u e v; metade disso dá a área do triângulo.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nossos vetores:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= (1,-1,0)\times(-t,t-3,-1).
Usando a expressão componente a componente:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big((-1)\cdot(-1)-0\cdot(t-3),\;0\cdot(-t)-1\cdot(-1),\;1\cdot(t-3)-(-1)\cdot(-t)\big).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,\;1,\;t-3-t)=(1,1,-3).
Observação importante: o resultado não depende de t. Uma razão geométrica para isso é que \overrightarrow{PQ}=(-1,1,0)=-\overrightarrow{AB}, ou seja, \overrightarrow{AB} é paralelo a \overrightarrow{PQ}. Assim, ao variar C sobre a reta PQ estamos apenas adicionando um múltiplo de \overrightarrow{AB} a \overrightarrow{AC}, e o termo em t não contribui para \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.

Passo 6

Agora o comprimento do produto vetorial:
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
Portanto a área do triângulo é
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}.Á
Esse valor é fixo para qualquer C na reta PQ (pois o produto vetorial não depende de t). Numericamente \tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx1{,}658, que é maior que \tfrac{1}{2}=0{,}5.

Passo 7

Conclusão: como a área de ABC é a mesma para todo ponto C da reta PQ e vale \tfrac{1}{2}\sqrt{11}, não existe ponto C na reta PQ que torne a área igual a \tfrac{1}{2}.

Resposta

Não existe ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja \tfrac{1}{2}. A área para qualquer C na reta é \tfrac{1}{2}\sqrt{11}.

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