Considere um fluido com densidade \rho constante ocupando a região definida por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}. Calcule a força exercida por este fluido sobre a superfície esférica definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0 e y \leq 0 utilizando a seguinte parametrização para a superfície: x=R \operatorname{cosv} \operatorname{senu}, y=R \operatorname{senv} \operatorname{sen} u, z=R \cos u. Obs: p=p_{0} na origem. Considere \mathbf{g}=-g \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a força
\mathbf{F}=\iint_{S}p\,\mathbf{n}\,dS
exercida por um fluido de densidade constante \rho sobre a parte da superfície esférica de raio R dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad z\ge0,\;y\le0.
O fluido está em equilíbrio sob \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k}
e a pressão satisfaz a equação hidrostática \nabla p=\rho\,\mathbf{g}
com p=p_{0} na origem. Usaremos a parametrização
x=R\cos v\sin u,\quad y=R\sin v\sin u,\quad z=R\cos u
para \;0\le u\le\pi/2,\;\pi\le v\le2\pi, e a normal externa \mathbf{n}=(x,y,z)/R.

Passo 2

Integramos
\mathbf{F} =\iint_{S}p\,\mathbf{n}\,dS
em coordenadas (u,v). Na esfera tem-se
\mathbf{n} =\bigl(\cos v\sin u,\;\sin v\sin u,\;\cos u\bigr), \qquad dS=R^{2}\sin u\,du\,dv.

Passo 3

Da hidroestática \nabla p=\rho(-g\,\mathbf{k}) segue
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \;\Longrightarrow\; p(z)=p_{0}-\rho g\,z.
Na superfície z=R\cos u, portanto
p(u)=p_{0}-\rho g\,R\cos u.

Passo 4

Só o componente em z sobrevive por simetria, logo
F_{z} =\iint_{S}p\,n_{z}\,dS =R^{2}\int_{v=\pi}^{2\pi}\!\!\int_{u=0}^{\pi/2} \bigl(p_{0}-\rho gR\cos u\bigr)\cos u\,\sin u \,du\,dv.
O fator de v é simplesmente \displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}dv=\pi.

Passo 5

Definindo
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,\sin u\,du ,\quad I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}u\,\sin u\,du,
temos
I_{1} =\frac{1}{2}\bigl(\sin^{2}u\bigr)\Big|_{0}^{\pi/2} =\tfrac12, \quad I_{2} =\int_{t=1}^{0}t^{2}(-dt) =\tfrac13.
Assim
F_{z} =\pi R^{2}\Bigl(p_{0}I_{1}-\rho gR\,I_{2}\Bigr) =\pi R^{2}\Bigl(\tfrac{p_{0}}{2}-\tfrac{\rho gR}{3}\Bigr).

Resposta

\mathbf{F} =\;F_{z}\,\mathbf{k} =\pi R^{2}\Bigl(\tfrac{p_{0}}{2}-\tfrac{\rho gR}{3}\Bigr)\,\mathbf{k}.

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