Considere um recipiente de base quadrada (com área 1 m^{2} ) o qual contém 1 m^{3} de água (a densidade da água pode ser suposta \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Joga-se neste recipiente uma pequena esfera com volume 0,05 m^{3} e verifica-se que o peso total foi acrescido em 10 \%. Qual o acréscimo de pressão no fundo do recipiente? A esfera flutua?

Passo 1

O enunciado: temos um recipiente de base quadrada com área A=1\,\mathrm{m}^2 contendo V_w=1\,\mathrm{m}^3 de água de densidade \rho_w=1000\,\mathrm{kg/m}^3. Lançamos uma esfera de volume V_s=0,05\,\mathrm{m}^3 e observamos que o peso total medido pelo fundo do recipiente aumentou em 10 %.
Conteúdo necessário: Princípio de Arquimedes (empuxo), equilíbrio de forças no objeto imerso, e relação entre força total no fundo e pressão média.

Passo 2

Calculamos a massa e o peso inicial da água e a variação de força no fundo.
A massa da água é
m_w=\rho_w\,V_w=1000\times1=1000\;\mathrm{kg},
e seu peso vale
W_w=m_w\,g=1000\,g\;\mathrm{N}.
Como o peso total medido aumentou 10\%, a variação de força no fundo é
\Delta F=0{,}1\,W_w=0{,}1\times1000\,g=100\,g\;\mathrm{N}.

Passo 3

O empuxo F_b que a água faz na esfera é dado pelo peso do volume de água deslocado:
F_b=\rho_w\,g\,V_s=1000\,g\times0{,}05=50\,g\;\mathrm{N}.

Passo 4

Na vertical, a esfera está em equilíbrio sob seu peso W_s, o empuxo F_b e a reação N da base. A força extra no fundo \Delta F resulta de N. Pela 2ª Lei de Newton (equilíbrio):
W_s=F_b+N \quad\Longrightarrow\quad N=W_s-F_b.
Mas sabemos que N=\Delta F. Logo
W_s=\Delta F+F_b=(100+50)\,g=150\,g\;\mathrm{N}.
Isto dá massa da esfera
m_s=\frac{W_s}{g}=150\;\mathrm{kg}
e densidade
\rho_s=\frac{m_s}{V_s}=\frac{150}{0{,}05}=3000\;\mathrm{kg/m}^3.

Passo 5

Como \rho_s=3000\,\mathrm{kg/m}^3>\rho_w, a esfera é mais densa que a água e não flutua (afunda).

Passo 6

O acréscimo de pressão média no fundo é a variação de força dividida pela área:
\Delta P=\frac{\Delta F}{A}=\frac{100\,g}{1\,\mathrm{m}^2}=100\,g\;\mathrm{Pa}.
Adotando g\approx9{,}8\;\mathrm{m/s}^2, tem-se
\Delta P\approx100\times9{,}8=980\;\mathrm{Pa}.

Resposta

O acréscimo de pressão no fundo é \Delta P\approx980\;\mathrm{Pa}. A esfera não flutua (afunda), pois sua densidade é maior que a da água.

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