Considere o fluxo constante de um gás específico através de um tubo horizontal convergentedivergente com um diâmetro de entrada
e um diâmetro de saída
. O fluido é incompressível. Quanto deve ser
para que a velocidade do fluxo de entrada do gás
seja um terço de sua velocidade de saída
? Suponha um escoamento unidimensional.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (fluxo constante significa escoamento estacionário):
- Dado: diâmetro de saída
. - Dado: o fluido é incompressível e o escoamento é unidimensional e de fluxo constante (isto é, regime estacionário).
- Dado: a velocidade de entrada
deve ser um terço da velocidade de saída , ou seja . - Pedido: determinar o diâmetro de entrada
que satisfaça essas condições.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (conservação de massa / equação da continuidade).
- Para um escoamento unidimensional e estacionário, a taxa de massa que passa por qualquer seção é a mesma. A taxa de massa (vazão mássica) é
onde
é a vazão mássica,
é a densidade do fluido,
é a área da seção transversal e
é a velocidade média nessa seção.
- Como o fluido é incompressível,
é constante. Logo, entre duas seções 1 e 2 vale
Aqui cada variável significa:
-
: áreas das seções de entrada e saída; -
: velocidades médias em entrada e saída.
Passo 3
Usar a relação dada entre velocidades para eliminar
.
- Substituindo
em obtemos
- Cancelando
(assumindo ),
Isto significa que a área da seção de entrada deve ser três vezes a área da saída para que a velocidade na entrada seja um terço da saída.
Passo 4
Relacionar áreas com diâmetros (seções circulares).
- As seções transversais são circulares, então a área é
onde
é o diâmetro da seção.
- Então
- Tomando razão
,
Passo 5
Combinar a relação de áreas com
e resolver para
.
- Usando
temos
- Logo
Passo 6
Substituir
e obter o valor numérico.
- Como
,
- Interpretação rápida: a entrada precisa ser mais larga (área 3 vezes maior) para reduzir a velocidade a um terço.