Considere o fluxo constante de um gás específico através de um tubo horizontal convergentedivergente com um diâmetro de entrada d_{1} e um diâmetro de saída d_{2}=1 \mathrm{~m}. O fluido é incompressível. Quanto deve ser d_{1} para que a velocidade do fluxo de entrada do gás v_{1} seja um terço de sua velocidade de saída v_{2} ? Suponha um escoamento unidimensional.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (fluxo constante significa escoamento estacionário):
  • Dado: diâmetro de saída d_{2}=1\\ \text{m}.
  • Dado: o fluido é incompressível e o escoamento é unidimensional e de fluxo constante (isto é, regime estacionário).
  • Dado: a velocidade de entrada v_{1} deve ser um terço da velocidade de saída v_{2}, ou seja v_{1}=\dfrac{1}{3}v_{2}.
  • Pedido: determinar o diâmetro de entrada d_{1} que satisfaça essas condições.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (conservação de massa / equação da continuidade).
  • Para um escoamento unidimensional e estacionário, a taxa de massa que passa por qualquer seção é a mesma. A taxa de massa (vazão mássica) é
\dot m=\rho A v,
onde \dot m é a vazão mássica, \rho é a densidade do fluido, A é a área da seção transversal e v é a velocidade média nessa seção.
  • Como o fluido é incompressível, \rho é constante. Logo, entre duas seções 1 e 2 vale
\rho A_{1} v_{1}=\rho A_{2} v_{2}\quad\Rightarrow\quad A_{1} v_{1}=A_{2} v_{2}.
Aqui cada variável significa:
  • A_{1},A_{2}: áreas das seções de entrada e saída;
  • v_{1},v_{2}: velocidades médias em entrada e saída.

Passo 3

Usar a relação dada entre velocidades para eliminar v_{1}.
  • Substituindo v_{1}=\dfrac{1}{3}v_{2} em A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2} obtemos
A_{1}\left(\dfrac{1}{3}v_{2}\right)=A_{2}v_{2}.
  • Cancelando v_{2} (assumindo v_{2}\neq0),
\dfrac{1}{3}A_{1}=A_{2}\quad\Rightarrow\quad A_{1}=3A_{2}.
Isto significa que a área da seção de entrada deve ser três vezes a área da saída para que a velocidade na entrada seja um terço da saída.

Passo 4

Relacionar áreas com diâmetros (seções circulares).
  • As seções transversais são circulares, então a área é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro da seção.
  • Então
A_{1}= \frac{\pi d_{1}^{2}}{4},\qquad A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}.
  • Tomando razão A_{1}/A_{2},
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{\pi d_{1}^{2}/4}{\pi d_{2}^{2}/4}=\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}.

Passo 5

Combinar a relação de áreas com A_{1}=3A_{2} e resolver para d_{1}.
  • Usando A_{1}=3A_{2} temos
\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}=3.
  • Logo
d_{1}=d_{2}\sqrt{3}.

Passo 6

Substituir d_{2}=1\\ \text{m} e obter o valor numérico.
  • Como d_{2}=1\\ \text{m},
d_{1}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 1,732\\ \text{m}.
  • Interpretação rápida: a entrada precisa ser mais larga (área 3 vezes maior) para reduzir a velocidade a um terço.

Resposta

d_{1}=\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 1,732\\ \text{m}

Exercícios relacionados