Dadas as coordenadas topográficas dos pontos P_{1}, P_{2}, P_{3} e P_{4} indicados na tabela a seguir, determine as distâncias horizontais e os azimutes entre os alinhamentos P_{1}-P_{2}, P_{1}-P_{3}, P_{1}- P_{4} e P_{3}-P_{2} ( 3,00 pontos).
Ponto \mathrm{X}(\mathrm{m}) \mathrm{Y}(\mathrm{m})
P_{1} 5.000,000 10.000,000
P_{2} 5.845,000 10.175,000
P_{3} 6.211,167 9.169,844
P_{4} 4.773,746 9.339,945

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas topográficas (planares) dos pontos e pede explicitamente as distâncias horizontais e os azimutes entre os alinhamentos indicados. Vou listar claramente os dados que temos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Ponto P_{1}: X_{1}=5{,}000{,}000\\ \text{m}, Y_{1}=10{,}000{,}000\\ \text{m}
  • Ponto P_{2}: X_{2}=5{,}845{,}000\\ \text{m}, Y_{2}=10{,}175{,}000\\ \text{m}
  • Ponto P_{3}: X_{3}=6{,}211{,}167\\ \text{m}, Y_{3}=9{,}169{,}844\\ \text{m}
  • Ponto P_{4}: X_{4}=4{,}773{,}746\\ \text{m}, Y_{4}=9{,}339{,}945\\ \text{m}
O que o enunciado pede:
  • Determinar a distância horizontal entre os pares: P_{1}-P_{2}, P_{1}-P_{3}, P_{1}-P_{4} e P_{3}-P_{2}.
  • Determinar o azimute de cada um desses alinhamentos (azimute do primeiro ponto para o segundo).
Observação sobre convenção de azimute que vou usar (padrão topográfico): o azimute é medido a partir do norte verdadeiro no sentido horário, com valores em [0^\circ,360^\circ). Para calcular o azimute a partir das diferenças de coordenadas uso a fórmula baseada em \operatorname{atan2}:
\Delta X = X_{\text{alvo}}-X_{\text{origem}},\qquad \Delta Y = Y_{\text{alvo}}-Y_{\text{origem}}.
A distância horizontal é
d=\sqrt{(\Delta X)^{2}+(\Delta Y)^{2}}.
O azimute A (em graus) é obtido através de
A=\operatorname{atan2}(\Delta X,\Delta Y)\times\frac{180}{\pi},
onde \operatorname{atan2}(\Delta X,\Delta Y) devolve o ângulo cujo tangente é \dfrac{\Delta X}{\Delta Y} já ajustado para o quadrante correto. Se o resultado for negativo, adiciona-se 360^\circ para ficar em [0^\circ,360^\circ).

Passo 2

Cálculo para o alinhamento P_{1}\to P_{2}.
  1. Calcular as diferenças de coordenadas:
\Delta X_{1,2}=X_{2}-X_{1}=5{,}845{,}000-5{,}000{,}000=0{,}845{,}000\\ \text{m},
\Delta Y_{1,2}=Y_{2}-Y_{1}=10{,}175{,}000-10{,}000{,}000=0{,}175{,}000\\ \text{m}.
  1. Distância horizontal:
d_{1,2}=\sqrt{(0{,}845{,}000)^{2}+(0{,}175{,}000)^{2}}.
Calcular os quadrados:
(0{,}845{,}000)^{2}=0{,}714{,}025000,\qquad (0{,}175{,}000)^{2}=0{,}030{,}625000.
Soma:
0{,}714{,}025000+0{,}030{,}625000=0{,}744{,}650000.
Raiz:
d_{1,2}=\sqrt{0{,}744{,}650000}=0{,}862{,}852\\ \text{m}\\ (\text{aprox.}).
  1. Azimute (usar \operatorname{atan2}):
\frac{\Delta X_{1,2}}{\Delta Y_{1,2}}=\frac{0{,}845{,}000}{0{,}175{,}000}=4{,}828571\ldots
A_{1,2}=\operatorname{atan2}(0{,}845{,}000,0{,}175{,}000)\times\frac{180}{\pi}=78{,}268^\circ\\ (\text{aprox.}).
Converter para graus-minutos-segundos:
A_{1,2}=78^\circ16'04{,}8''\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Cálculo para o alinhamento P_{1}\to P_{3}.
  1. Diferenças:
\Delta X_{1,3}=X_{3}-X_{1}=6{,}211{,}167-5{,}000{,}000=1{,}211{,}167\\ \text{m},
\Delta Y_{1,3}=Y_{3}-Y_{1}=9{,}169{,}844-10{,}000{,}000=-0{,}830{,}156\\ \text{m}.
  1. Distância:
d_{1,3}=\sqrt{(1{,}211{,}167)^{2}+(-0{,}830{,}156)^{2}}.
Quadrados (com desenvolvimento passo a passo aproximado):
(1{,}211{,}167)^{2}\approx1{,}466{,}926{,}36,\qquad (0{,}830{,}156)^{2}\approx0{,}689{,}158{,}98.
Soma:
1{,}466{,}926{,}36+0{,}689{,}158{,}98=2{,}156{,}085{,}34.
Raiz:
d_{1,3}=\sqrt{2{,}156{,}085{,}34}=1{,}468{,}362\\ \text{m}\\ (\text{aprox.}).
  1. Azimute:
\frac{\Delta X_{1,3}}{\Delta Y_{1,3}}=\frac{1{,}211{,}167}{-0{,}830{,}156}=-1{,}4589\ldots
Como \Delta Y é negativo e \Delta X positivo, o ângulo está no quadrante leste-sul (entre 90^\circ e 180^\circ). Usando \operatorname{atan2}:
A_{1,3}=\operatorname{atan2}(1{,}211{,}167,-0{,}830{,}156)\times\frac{180}{\pi}=124{,}971^\circ\\ (\text{aprox.}).
Em DMS:
A_{1,3}=124^\circ58'15{,}6''\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo para o alinhamento P_{1}\to P_{4}.
  1. Diferenças:
\Delta X_{1,4}=X_{4}-X_{1}=4{,}773{,}746-5{,}000{,}000=-0{,}226{,}254\\ \text{m},
\Delta Y_{1,4}=Y_{4}-Y_{1}=9{,}339{,}945-10{,}000{,}000=-0{,}660{,}055\\ \text{m}.
  1. Distância:
d_{1,4}=\sqrt{(-0{,}226{,}254)^{2}+(-0{,}660{,}055)^{2}}.
Quadrados:
(0{,}226{,}254)^{2}\approx0{,}051{,}191{,}0,\qquad (0{,}660{,}055)^{2}\approx0{,}435{,}672{,}6.
Soma:
0{,}051{,}191{,}0+0{,}435{,}672{,}6=0{,}486{,}863{,}6.
Raiz:
d_{1,4}=\sqrt{0{,}486{,}863{,}6}=0{,}697{,}760\\ \text{m}\\ (\text{aprox.}).
  1. Azimute:
\frac{\Delta X_{1,4}}{\Delta Y_{1,4}}=\frac{-0{,}226{,}254}{-0{,}660{,}055}=0{,}3428\ldots
Aqui ambos \Delta X e \Delta Y são negativos, portanto o alvo está a sudoeste; somamos 180^\circ ao ângulo básico:
A_{1,4}=\operatorname{atan2}(-0{,}226{,}254,-0{,}660{,}055)\times\frac{180}{\pi}=198{,}935^\circ\\ (\text{aprox.}).
Em DMS:
A_{1,4}=198^\circ56'06{,}0''\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo para o alinhamento P_{3}\to P_{2}.
  1. Diferenças:
\Delta X_{3,2}=X_{2}-X_{3}=5{,}845{,}000-6{,}211{,}167=-0{,}366{,}167\\ \text{m},
\Delta Y_{3,2}=Y_{2}-Y_{3}=10{,}175{,}000-9{,}169{,}844=1{,}005{,}156\\ \text{m}.
  1. Distância:
d_{3,2}=\sqrt{(-0{,}366{,}167)^{2}+(1{,}005{,}156)^{2}}.
Quadrados:
(0{,}366{,}167)^{2}\approx0{,}134{,}078{,}27,\qquad (1{,}005{,}156)^{2}\approx1{,}010{,}338{,}58.
Soma:
0{,}134{,}078{,}27+1{,}010{,}338{,}58=1{,}144{,}416{,}85.
Raiz:
d_{3,2}=\sqrt{1{,}144{,}416{,}85}=1{,}069{,}770\\ \text{m}\\ (\text{aprox.}).
  1. Azimute:
\frac{\Delta X_{3,2}}{\Delta Y_{3,2}}=\frac{-0{,}366{,}167}{1{,}005{,}156}=-0{,}364288\ldots
Como \Delta Y é positivo e \Delta X negativo, o alvo está a oeste do norte (ângulo ligeiramente a oeste de 360^\circ ou 0). Usando \operatorname{atan2}:
A_{3,2}=\operatorname{atan2}(-0{,}366{,}167,1{,}005{,}156)\times\frac{180}{\pi}=360^\circ-20{,}016^\circ\approx339{,}984^\circ.
Em DMS:
A_{3,2}=339^\circ59'02{,}1''\\ (\text{aprox.}).

Resposta

P_{1}-P_{2:\\ }d=0{,}862{,}852\\ \text{m},\\ A=78^\circ16'04{,}8''
P_{1}-P_{3:\\ }d=1{,}468{,}362\\ \text{m},\\ A=124^\circ58'15{,}6''
P_{1}-P_{4:\\ }d=0{,}697{,}760\\ \text{m},\\ A=198^\circ56'06{,}0''
P_{3}-P_{2:\\ }d=1{,}069{,}770\\ \text{m},\\ A=339^\circ59'02{,}1''

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