Considere o fluxo constante de um gás
através de um tubo convergente-divergente com diâmetros
e
. Na entrada:
bar,
. Na saída:
bar,
. A velocidade de entrada é
. Determine
. Use
.
Passo 1
Listar claramente os dados fornecidos e o que o problema pede.
-
Diâmetros do tubo:
-
-
Condições na entrada (secção 1):
-
-
Condições na saída (secção 2):
-
-
Constante dos gases (fornecida):
-
O que se pede:
- Determinar a velocidade de saída
.
Observação sobre unidades que usarei:
. Todas as pressões serão convertidas para
antes de usar a lei dos gases ideais.
Passo 2
Princípio físico a usar: conservação de massa (regime estacionário, fluxo constante). Explicação didática do conceito.
Em um fluxo estacionário unidimensional sem acumulação de massa, a vazão mássica
é constante ao longo do tubo. Para uma seção transversal
, densidade
e velocidade média
tem-se
Isso significa que a massa que entra por unidade de tempo na seção 1 é igual à massa que sai por unidade de tempo na seção 2:
Aqui:
-
é a densidade do gás em , -
é a área da seção transversal em , -
é a velocidade média em .
Do ponto de vista prático para achar
, isolamos:
Passo 3
Como obter as densidades
e
: lei dos gases ideais e explicação.
Usaremos a lei dos gases ideais na forma:
onde:
-
é a pressão absoluta em , -
é a densidade em , -
é a constante específica do gás em , -
é a temperatura absoluta em .
Rearranjando para
:
Isto nos dá uma fórmula direta para computar
e
a partir dos pares
e
.
Passo 4
Cálculo das áreas
e
a partir dos diâmetros e explicação de como fazer.
A área da seção circular com diâmetro
é
Aplicando aos dois diâmetros:
Relação útil que simplifica contas:
Ou seja, a área da seção 1 é um quarto da área da seção 2.
Passo 5
Conversão de unidades das pressões e aplicação da fórmula da densidade com explicação passo a passo.
Converter pressões para
:
Agora calcular
e
com
.
Para a entrada:
Uma simplificação numérica útil: dividir numerador e denominador por
dá
Calculando numericamente:
Para a saída:
Dividindo numerador e denominador por
(ou simplificando) obtém-se
e numericamente
Comentário curto sobre unidades: as contas usam
(SI),
em
e
em
, de modo que
sai em
.
Passo 6
Substituir tudo na relação de conservação de massa e calcular
passo a passo.
Recordando:
Usando
,
, e as densidades calculadas:
Então
Calcule passo a passo:
Arredondando com sentido prático (duas casas significativas razoáveis para este problema):
Passo 7
Breve verificação de consistência e comentário físico (didático e motivador).
- A densidade na entrada é maior porque a pressão lá é maior e, apesar da temperatura ser maior também, o efeito da pressão domina aqui; isso leva a
. - A área aumenta de 1 m de diâmetro para 2 m de diâmetro (área quatro vezes maior), o que tende a reduzir a velocidade. Mas como
é maior que 1 (≈2,88), a velocidade na saída não caiu tanto e ficou na mesma ordem de grandeza de . - Resultado plausível:
ligeiramente menor que (aqui vs ), consistente com o aumento de área e a diminuição de densidade.
Força e ânimo: boa parte do trabalho é transformar dados e aplicar duas fórmulas simples (continuidade e gás ideal); com calma isso vira rotina — já está indo muito bem!