|x-1|^{2}=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x-1|^{2}=|2x+1|
ou seja, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. Informações dadas:
  • Há valores absolutos em ambos os lados.
  • O lado esquerdo é um quadrado de um valor absoluto.
O objetivo é determinar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeira observação útil (conceito): para qualquer número real a vale |a|^{2}=a^{2}. Isso acontece porque |a|\ge0 e ao elevar ao quadrado a informação do sinal é perdida: tanto a quanto -a dão a^{2}.
Exemplo curto: se a=-3 então |a|=3 e |a|^{2}=9; também a^{2}=(-3)^{2}=9. Logo |a|^{2}=a^{2}.
Aplicando isso ao nosso problema, podemos escrever o lado esquerdo sem o símbolo de valor absoluto interno.

Passo 3

Reescrevendo o enunciado usando a observação:
|x-1|^{2}=(x-1)^{2},
portanto a equação fica
(x-1)^{2}=|2x+1|.
Agora temos uma equação em que o lado esquerdo é um polinômio quadrático e o lado direito é um valor absoluto linear.

Passo 4

Estratégia (conceito sobre valores absolutos): para resolver uma equação com |\cdot| do tipo (\text{expressão}) = |L(x)|ã, é comum separar em dois casos conforme o sinal de L(x):
  • caso L(x)\ge0 então |L(x)|=L(x);
  • caso L(x)<0 então |L(x)|=-L(x).
No nosso problema L(x)=2x+1. O ponto em que muda o sinal é 2x+1=0\Rightarrow x=-\tfrac{1}{2}. Vamos analisar os dois intervalos: x\ge -\tfrac{1}{2} e x< -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Caso 1: x\ge -\tfrac{1}{2}. Neste caso |2x+1|=2x+1. A equação torna-se
(x-1)^{2}=2x+1.
Expandindo o quadrado e passando todos os termos para um lado:
x^{2}-2x+1=2x+1.
Subtraindo 2x+1 dos dois lados:
x^{2}-2x+1-(2x+1)=0
x^{2}-4x=0.
Fatorando:
x(x-4)=0.
Portanto as possíveis soluções são
x=0\qquad\text{ou}\qquad x=4.
Agora verificar se satisfazem a condição do caso ( x\ge -\tfrac{1}{2}): ambos 0 e 4 são maiores que -\tfrac{1}{2}, logo ambos são soluções válidas deste caso.

Passo 6

Caso 2: x< -\tfrac{1}{2}. Neste caso |2x+1|=-(2x+1)=-2x-1. A equação torna-se
(x-1)^{2}=-2x-1.
Expandindo e colocando tudo de um lado:
x^{2}-2x+1=-2x-1
x^{2}-2x+1+2x+1=0
x^{2}+2=0.
Isso implica
x^{2}=-2.
Não existem números reais cujo quadrado seja negativo, então não há soluções reais neste caso. (Pode-se também notar que o discriminante seria negativo.)

Passo 7

Conclusão: as únicas soluções reais obtidas foram x=0 e x=4. Fazendo uma verificação rápida na equação original:
  • Para x=0: |0-1|^{2}=|{-1}|^{2}=1 e |2\cdot0+1|=|1|=1. OK.
  • Para x=4: |4-1|^{2}=|3|^{2}=9 e |2\cdot4+1|=|9|=9. OK.
Portanto o conjunto solução é \{0,4\}.

Resposta

x=0
x=4

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