Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todos os números reais
que satisfazem essa igualdade. Informações dadas:
- Há valores absolutos em ambos os lados.
- O lado esquerdo é um quadrado de um valor absoluto.
O objetivo é determinar todos os
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeira observação útil (conceito): para qualquer número real
vale
. Isso acontece porque
e ao elevar ao quadrado a informação do sinal é perdida: tanto
quanto
dão
.
Exemplo curto: se
então
e
; também
. Logo
.
Aplicando isso ao nosso problema, podemos escrever o lado esquerdo sem o símbolo de valor absoluto interno.
Passo 3
Reescrevendo o enunciado usando a observação:
portanto a equação fica
Agora temos uma equação em que o lado esquerdo é um polinômio quadrático e o lado direito é um valor absoluto linear.
Passo 4
Estratégia (conceito sobre valores absolutos): para resolver uma equação com
do tipo
, é comum separar em dois casos conforme o sinal de
:
- caso
então ; - caso
então .
No nosso problema
. O ponto em que muda o sinal é
. Vamos analisar os dois intervalos:
e
.
Passo 5
Caso 1:
. Neste caso
. A equação torna-se
Expandindo o quadrado e passando todos os termos para um lado:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Portanto as possíveis soluções são
Agora verificar se satisfazem a condição do caso (
): ambos
e
são maiores que
, logo ambos são soluções válidas deste caso.
Passo 6
Caso 2:
. Neste caso
. A equação torna-se
Expandindo e colocando tudo de um lado:
Isso implica
Não existem números reais cujo quadrado seja negativo, então não há soluções reais neste caso. (Pode-se também notar que o discriminante seria negativo.)
Passo 7
Conclusão: as únicas soluções reais obtidas foram
e
. Fazendo uma verificação rápida na equação original:
- Para
: e . OK. - Para
: e . OK.
Portanto o conjunto solução é
.