Vamos analisá-la usando conceitos de Álgebra Linear, para isso responda os itens abaixo:
Representação matricial
a) Apresente a matriz A tal que Q(\vec{x})=\vec{x}^{T} A \vec{x};
Autovalores e autovetores
b) Encontre os autovalores da matriz A encontrada no item a);
c) Encontre os autovetores associados aos autovalores encontrados acima.
Sugestão: denote-os por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Base ortonormal
d) Calcule a norma dos autovetores encontrados no item c). E, se eles não tiverem norma 1, normalize-os. Sugestão: denote-os por \vec{u}_{1} e \vec{u}_{2} os autovetores com norma 1.
e) O conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\}, formado pelos autovetores de A normalizados, é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
Diagonalização e mudança de variáveis
f) A matriz A encontrada no item a) é diagonalizável? Se for, diagonalize esta matriz, ou seja, apresente uma matriz diagonal D e uma matriz P, sua inversa P^{-1} tal que A=P D P^{-1}.
g) No caso de A ser diagonalizável, a matriz P obtida acima é ortogonal? Justifique.
h) Obtenha novas variáveis y_{1} e y_{2} em função de x_{1} e x_{2} tais que quando escrevemos a forma quadrática em função dessas novas variáveis não temos termos mistos. Sugestão: use \vec{y}=P^{T} \vec{x}.
Análise geométrica da forma quadrática
i) Classifique as curvas de nível desta forma quadrática.
j) Qual o valor mínimo e o valor máximo de que Q nos pontos que satisfazem a condição x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
e) Sim, a base \mathcal{B}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\} é ortonormal, pois os vetores dela têm norma 1 e são ortogonais, já que \vec{u}_{1} \cdot \vec{u}_{2}=0.
f) A é diagonalizável.
g) Sim, P é ortogonal, pois suas colunas formam uma base ortonormal.
h)
i) As curvas de nível de Q são Hipérboles.
j) O valor mínimo de Q em x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 é -5 .
O valor máximo de Q em x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 é 5 .
pois então \vec{x}^{T}A\vec{x}=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2.
Aplicando isso ao caso dado: o coeficiente de x_1^2 é 1, o de x_2^2 é -2, e o termo misto 4x_1x_2 corresponde a 2a_{12}x_1x_2, logo 2a_{12}=4\Rightarrow a_{12}=2.
Portanto
Logo os vetores são ortogonais e cada um tem norma 1; portanto \mathcal{B} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.
Passo 8
Diagonalização de A — construção de P, D e relação A=PDP^{-1}:
Para matrizes simétricas reais, o teorema espectral garante diagonalização ortogonal: existe matriz P cujas colunas são autovetores ortonormais e P^{-1}=P^{T}, com
A matriz diagonal D coloca os autovalores nas posições correspondentes às colunas de P. Como \vec{u}_1 corresponde a \lambda_1=2 e \vec{u}_2 a \lambda_2=-3,
D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Como P é ortonormal por colunas, P^{-1}=P^{T}, e portanto
Uma matriz é ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam uma base ortonormal, o que significa P^{T}P=I e P^{-1}=P^{T}.
Já mostramos que \vec{u}_1,\vec{u}_2 são ortonormais; portanto P é ortogonal. Consequentemente P^{-1}=P^{T}.
Passo 10
Mudança de variáveis que elimina termo misto — como obter y_1,y_2:
A sugestão é usar \vec{y}=P^{T}\vec{x}. Como P é ortogonal, essa é rotação/reflexão que alinha os eixos aos autovetores.
Escrevendo explicitamente \vec{x}=(x_1,x_2)^{T} e \vec{y}=(y_1,y_2)^{T}:
Classificação geométrica das curvas de nível de Q:
As curvas de nível são conjuntos \{(x_1,x_2):Q(x_1,x_2)=c\}.
Como na forma diagonalizada os coeficientes (autovalores) têm sinais opostas (2>0 e -3<0), a forma quadrática é indefinida. Isso significa que, para c\neq0, as curvas de nível são hipérboles; para c=0 obtemos as retas que formam o cone degenerado (no plano, a equação 2y_1^{2}-3y_2^{2}=0 corresponde a duas retas).
Portanto: curvas de nível são hipérbolas (exceto o caso degenerado c=0).
Passo 12
Máximo e mínimo de Q sobre a circunferência x_1^{2}+x_2^{2}=1 — explicação (fórmula de Rayleigh):
Para uma matriz simétrica A, o valor máximo de \vec{x}^{T}A\vec{x} sujeito a \|\vec{x}\|=1 é o maior autovalor, e o mínimo é o menor autovalor. Isso é o conteúdo do princípio variacional (ou da propriedade do quociente de Rayleigh).
Aqui, sobre a circunferência unitária, os valores extremos são simplesmente os autovalores: