Encontre a equação do plano \pi que passa pelo ponto Q=(1,0,2) e é paralelo ao plano 2 x-y+5 z=3
6. Determine as equações paramétricas da reta r dada pelas equações
\left\{\begin{array}{c} x+2 y-3 z-4=0 \\ x-4 y+2 z+1=0 \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada parte.
  • Primeiro pedido: encontrar a equação do plano \pi que passa pelo ponto Q=(1,0,2) e é paralelo ao plano dado
2x - y + 5z = 3.
Informações relevantes: o plano dado tem coeficientes de x,y,z que definem um vetor normal.
  • Segundo pedido (reta r): determinar as equações paramétricas da reta r definida pela interseção das duas equações (dois planos)
\left\{\begin{array}{r} x+2y-3z-4=0,\\[4pt] x-4y+2z+1=0. \end{array}\right.
Informações relevantes: cada equação é um plano; a reta r é a interseção desses dois planos (portanto precisamos achar um vetor diretor e um ponto que pertença à interseção).]

Passo 2

Plano paralelo: ideia e fórmula que vou usar (passo-a-passo bem explicado).
  • Conceito chave: dois planos são paralelos quando têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano escrito como ax+by+cz+d=0 é \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Para obter a equação de um plano que passa por um ponto Q=(x_0,y_0,z_0) e tem normal \mathbf{n}=(a,b,c), usamos a forma ponto-normal
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Cada termo significa: a(x-x_0) é a contribuição de x segundo a direção do normal, e análogas para y,z. Essa equação garante que o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é ortogonal ao normal, logo pertence ao plano.

Passo 3

Aplicando a ideia ao primeiro pedido.
  • O plano dado tem equação \;2x-y+5z=3\;, então seu vetor normal é
\mathbf{n}=(2,-1,5).
  • Queremos o plano paralelo a esse e que passe por Q=(1,0,2). Usamos a forma ponto-normal:
2(x-1)+(-1)(y-0)+5(z-2)=0.
Agora eu explico cada passo da álgebra (sem pular etapas): expandindo os parênteses,
2x-2 - y +0 +5z -10 = 0.
Somando os constantes -2 e -10 -12, então
2x - y + 5z - 12 = 0.
Reescrevendo na forma mais comum (termos à esquerda, constante à direita),
2x - y + 5z = 12.
Pronto — essa é a equação do plano \pi.

Passo 4

Agora a reta r: plano de resolução e conceitos usados.
  • Ideia geral: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Para descrever essa reta em forma paramétrica precisamos de:
    1. um vetor diretor \mathbf{v} da reta (vetor paralelo à reta);
    2. um ponto P que pertença à reta.
  • Como obter \mathbf{v}: se os planos têm normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então \mathbf{v} é ortogonal a ambos os normais, logo é dado pelo produto vetorial (cross product)
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Explico o produto vetorial de forma prática: para \mathbf{n}_1=(a_1,b_1,c_1), \mathbf{n}_2=(a_2,b_2,c_2),
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \bigl(b_1c_2-c_1b_2,\; c_1a_2-a_1c_2,\; a_1b_2-b_1a_2\bigr).
Esse vetor é perpendicular a ambos porque seu produto escalar com cada normal é zero (propriedade do cross product).

Passo 5

Calcular o vetor diretor \mathbf{v}.
  • Identifico as normais das duas equações:
\mathbf{n}_1=(1,2,-3),\qquad \mathbf{n}_2=(1,-4,2).
  • Aplico a fórmula do produto vetorial (vou calcular cada componente devagar):
    • primeira componente: b_1c_2 - c_1b_2 = 2\cdot2 - (-3)\cdot(-4) = 4 - 12 = -8;
    • segunda componente: c_1a_2 - a_1c_2 = (-3)\cdot1 - 1\cdot2 = -3 - 2 = -5;
    • terceira componente: a_1b_2 - b_1a_2 = 1\cdot(-4) - 2\cdot1 = -4 - 2 = -6.
  • Logo
\mathbf{v}=(-8,-5,-6).
É comum e conveniente multiplicar por -1 para obter um vetor mais “positivo”:
\mathbf{v}=(8,5,6)
(como vetor diretor da reta; direção é a mesma pois multiplicação por escalar não muda a direção).

Passo 6

Encontrar um ponto na interseção (um ponto da reta [r)) resolvendo o sistema.
  • Reescrevo as equações em forma mais direta:
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\[4pt] x-4y+2z=-1. \end{cases}
  • Estratégia prática: eliminar uma variável subtraindo as equações. Subtraindo a segunda da primeira:
(x+2y-3z) - (x-4y+2z) = 4 - (-1).
No lado esquerdo x-x=0\], e para \[y e z:
2y - (-4y) -3z -2z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 6y -5z = 5.
  • Isolo y em função de z:
6y = 5 + 5z \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5+5z}{6} = \frac{5}{6} + \frac{5}{6}z.
  • Substituo y numa das equações (uso a segunda) para achar x em função de z. Da segunda equação:
x = -1 + 4y - 2z.
Substituindo y:
x = -1 + 4\left(\frac{5}{6} + \frac{5}{6}z\right) - 2z.
Faço a álgebra passo a passo:
x = -1 + \frac{20}{6} + \frac{20}{6}z - 2z.
\frac{20}{6} = \frac{10}{3},\quad \frac{20}{6}z - 2z = \left(\frac{20}{6}-\frac{12}{6}\right)z = \frac{8}{6}z = \frac{4}{3}z.
x = -1 + \frac{10}{3} + \frac{4}{3}z = \frac{-3+10}{3} + \frac{4}{3}z = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}z.
  • Agora tomo z como parâmetro: seja t=z. Então uma forma paramétrica (com frações) é
\begin{cases} x = \dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3}t,\\[6pt] y = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}t,\\[6pt] z = t. \end{cases}
Essa forma é correta, mas dá frações. Podemos tornar tudo íntegro escolhendo um ponto particular na reta (isto é, escolher um valor de t\] que torne \(x,y,z inteiros) ou reescalar o parâmetro.]

Passo 7

Escolher um ponto inteiro e escrever a forma paramétrica mais simples.
  • Experimento rápido: se escolhemos t=-1\) (ou seja \(z=-1\)), então \[x = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}(-1) = \frac{7-4}{3} = \frac{3}{3} = 1,
y = \frac{5}{6} + \frac{5}{6}(-1) = 0,
z = -1.
Portanto o ponto P=(1,0,-1) pertence à interseção. Posso verificar substituindo nas duas equações originais (faça esse checagem na prova para garantir que não houve erro): ambas ficam iguais a zero, então está certo.
  • Já tenho um ponto P=(1,0,-1) e o vetor diretor \mathbf{v}=(8,5,6). Logo as equações paramétricas mais limpas da reta são, com parâmetro s,
\begin{cases} x = 1 + 8s,\\[4pt] y = 0 + 5s = 5s,\\[4pt] z = -1 + 6s. \end{cases}
Explicação rápida por que isso é equivalente à forma com frações: a forma com frações tinha vetor diretor \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{6},1\right)\]. Multiplicando esse vetor por \(6 obtém-se (8,5,6); reparametrizando (trocando t por s com s=\tfrac{t}{6} ou outra relação) obtemos a forma com componentes inteiras que dei acima. Em prova tanto a forma fracionária quanto a inteira são válidas, desde que esteja consistente.]

Resposta

2x - y + 5z = 12
x = 1 + 8s,\quad y = 5s,\quad z = -1 + 6s

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