Encontre a equação do plano \pi que passa pelo ponto Q=(1,0,2) e é paralelo ao plano 2 x-y+5 z=3
6. Determine as equações paramétricas da reta r dada pelas equações
Informações relevantes: cada equação é um plano; a reta r é a interseção desses dois planos (portanto precisamos achar um vetor diretor e um ponto que pertença à interseção).]
Passo 2
Plano paralelo: ideia e fórmula que vou usar (passo-a-passo bem explicado).
Conceito chave: dois planos são paralelos quando têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano escrito como ax+by+cz+d=0 é \mathbf{n}=(a,b,c).
Para obter a equação de um plano que passa por um ponto Q=(x_0,y_0,z_0) e tem normal \mathbf{n}=(a,b,c), usamos a forma ponto-normal
Cada termo significa: a(x-x_0) é a contribuição de x segundo a direção do normal, e análogas para y,z. Essa equação garante que o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é ortogonal ao normal, logo pertence ao plano.
Passo 3
Aplicando a ideia ao primeiro pedido.
O plano dado tem equação \;2x-y+5z=3\;, então seu vetor normal é
\mathbf{n}=(2,-1,5).
Queremos o plano paralelo a esse e que passe por Q=(1,0,2). Usamos a forma ponto-normal:
2(x-1)+(-1)(y-0)+5(z-2)=0.
Agora eu explico cada passo da álgebra (sem pular etapas): expandindo os parênteses,
2x-2 - y +0 +5z -10 = 0.
Somando os constantes -2 e -10 dá -12, então
2x - y + 5z - 12 = 0.
Reescrevendo na forma mais comum (termos à esquerda, constante à direita),
2x - y + 5z = 12.
Pronto — essa é a equação do plano \pi.
Passo 4
Agora a reta r: plano de resolução e conceitos usados.
Ideia geral: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Para descrever essa reta em forma paramétrica precisamos de:
um vetor diretor \mathbf{v} da reta (vetor paralelo à reta);
um ponto P que pertença à reta.
Como obter \mathbf{v}: se os planos têm normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então \mathbf{v} é ortogonal a ambos os normais, logo é dado pelo produto vetorial (cross product)
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Explico o produto vetorial de forma prática: para \mathbf{n}_1=(a_1,b_1,c_1), \mathbf{n}_2=(a_2,b_2,c_2),
Agora tomo z como parâmetro: seja t=z. Então uma forma paramétrica (com frações) é
\begin{cases} x = \dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3}t,\\[6pt] y = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}t,\\[6pt] z = t. \end{cases}
Essa forma é correta, mas dá frações. Podemos tornar tudo íntegro escolhendo um ponto particular na reta (isto é, escolher um valor de t\] que torne \(x,y,z inteiros) ou reescalar o parâmetro.]
Passo 7
Escolher um ponto inteiro e escrever a forma paramétrica mais simples.
Experimento rápido: se escolhemos t=-1\) (ou seja \(z=-1\)), então
\[x = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}(-1) = \frac{7-4}{3} = \frac{3}{3} = 1,
y = \frac{5}{6} + \frac{5}{6}(-1) = 0,
z = -1.
Portanto o ponto P=(1,0,-1) pertence à interseção. Posso verificar substituindo nas duas equações originais (faça esse checagem na prova para garantir que não houve erro): ambas ficam iguais a zero, então está certo.
Já tenho um ponto P=(1,0,-1) e o vetor diretor \mathbf{v}=(8,5,6). Logo as equações paramétricas mais limpas da reta são, com parâmetro s,
\begin{cases} x = 1 + 8s,\\[4pt] y = 0 + 5s = 5s,\\[4pt] z = -1 + 6s. \end{cases}
Explicação rápida por que isso é equivalente à forma com frações: a forma com frações tinha vetor diretor \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{6},1\right)\]. Multiplicando esse vetor por \(6 obtém-se (8,5,6); reparametrizando (trocando t por s com s=\tfrac{t}{6} ou outra relação) obtemos a forma com componentes inteiras que dei acima. Em prova tanto a forma fracionária quanto a inteira são válidas, desde que esteja consistente.]