Considere a matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1\end{array}\right].
(a) Determine os autovalores de A.
(b) Encontre os autovetores.
(c) A matriz A é diagonalizável? Justifique.
Resolução.
(a) Autovalores de A :
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Sim. Uma matriz é diagonalizável se admite uma base de autovetores, ou seja, se possui 3 autovalores distintos (ou suficientes autovetores linearmente independentes). Como A tem 3 autovalores distintos com multiplicidade algébrica 1, ela é diagonalizável.
Resposta: Sim, a matriz A é diagonalizável.
Perguntas:
(a) Determinar os autovalores de A.
(b) Encontrar os autovetores correspondentes.
(c) Dizer se A é diagonalizável e justificar.]
Passo 2
O que é um autovalor e como encontramos: definição e estratégia.
Definição curta e prática: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
A v=\lambda v,
ou equivalentemente
(A-\lambda I)v=0.
Para achar possíveis \lambda resolvemos a equação característica
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação nos dá os valores \lambda (possíveis autovalores). Depois, para cada \lambda achamos a solução não trivial do sistema linear (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Passo 3
Montar A-\lambda I e calcular o determinante (equação característica).
Observação importante (fórmula útil): se uma matriz é triangular (ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero ou todos abaixo da diagonal são zero), então o determinante é o produto das entradas da diagonal. Aqui todos os elementos acima da diagonal são zeros: posições (1,2),(1,3),(2,3) são zero, logo a matriz é triangular inferior.
Encontrar os autovalores a partir da equação característica.
A equação característica é
(2-\lambda)(4-\lambda)(1-\lambda)=0.
As raízes são
\lambda=2,\quad \lambda=4,\quad \lambda=1.
Ou seja, os autovalores de A são \lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=4 (a ordem não importa, apenas listar os três).
Passo 5
Como achar autovetores: método geral (explicação didática).
Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo
(A-\lambda I)v=0.
Esse sistema normalmente é resolvido por redução de linha (eliminação de Gauss) ou por inspeção das equações lineares que ele representa.
Lembrete do que fazer na prova: escrever as equações linha a linha, isolar variáveis que são forçadas a zero, identificar variáveis livres e expressar a solução em função de parâmetros para obter uma base do espaço próprio (eigenspace).
O espaço próprio para \lambda=4 é \mathrm{span}\{(0,3,1)^T\}.]
Passo 9
Verificação rápida de independência e explicação sobre diagonalizabilidade.
Observação prática e muito útil para provas: se uma matriz quadrada n\times n tem n autovalores distintos (contando multiplicidade algébrica), então existem n autovetores linearmente independentes. Isso implica que a matriz é diagonalizável (pois os autovetores formam uma base de \mathbb{R}^n e se usa essa base para diagonalizar).
No nosso caso n=3 e os autovalores \{1,2,4\} são três distintos. Cada um tem multiplicidade algébrica 1 e encontramos um autovetor não nulo para cada um; esses autovetores pertencem a espaços próprios de dimensão pelo menos 1. Portanto temos três autovetores linearmente independentes.
Conclusão: A é diagonalizável. (Na prática da prova: mencionar “3 autovalores distintos \Rightarrow diagonalizável” já é uma justificativa suficiente.)
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=1,\\ \lambda=2,\\ \lambda=4.
(b) Autovetores correspondentes (um em cada espaço próprio):