Resolva as equações a diferenças a seguir utilizando a transformada
:
(b)
degrau unitário
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferenças:
com as condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ x(1) = 2 $. Queremos resolver essa equação utilizando a transformada
. Para isso, vamos precisar conhecer a transformada
de sequências, propriedades das transformadas e como aplicá-las em equações de diferenças.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada
em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada
de
é
, e que ao aplicar a transformada
em termos atrasados, como
, temos
.
Aplicando a transformada na equação:
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
-
-
-
(sabendo que a transformada de é e deslocando em 2 unidades)
Substituindo esses na equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Simplificando ainda mais:
Isolando
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Simplificando o numerador:
Então:
Para encontrar
, precisamos realizar a transformada inversa de
. Isso envolve decomposição em frações parciais e aplicação da tabela de transformadas
. Após os cálculos, a solução no domínio temporal será:
Resposta
A solução da equação de diferenças é: