Resolva as equações a diferenças a seguir utilizando a transformada mathscrZ :
(b) x(k+2)-x(k+1)+0,25 x(k)=u(k+2), x(0)=1, x(1)=2, u(k)= degrau unitário

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferenças:
x(k+2) - x(k+1) + 0,25,x(k) = u(k+2)
com as condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ x(1) = 2 $. Queremos resolver essa equação utilizando a transformada x(0) = 1 . Para isso, vamos precisar conhecer a transformada x(1) = 2 de sequências, propriedades das transformadas e como aplicá-las em equações de diferenças.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada mathscrZ em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada mathscrZ de x(k) é X(z), e que ao aplicar a transformada mathscrZ em termos atrasados, como x(k+n), temos z^n X(z) - z^n-1x(0) - dots - x(n-1).
Aplicando a transformada na equação:
mathscrZx(k+2) - mathscrZx(k+1) + 0,25,mathscrZx(k) = mathscrZu(k+2)

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. mathscrZx(k+2) = z^2 X(z) - z x(0) - x(1)
  2. mathscrZx(k+1) = z X(z) - x(0)
  3. mathscrZu(k+2) = z^2z-1 (sabendo que a transformada de u(k) é zz-1 e deslocando k em 2 unidades)
Substituindo esses na equação:
(z^2 X(z) - z cdot 1 - 2) - (z X(z) - 1) + 0,25 X(z) = z^2z-1

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
z^2 X(z) - z - 2 - z X(z) + 1 + 0,25 X(z) = z^2z-1
Agrupando os termos com X(z):
(z^2 - z + 0,25) X(z) - z - 2 + 1 = z^2z-1
Simplificando ainda mais:
(z^2 - z + 0,25) X(z) - z - 1 = z^2z-1
Isolando X(z):
(z^2 - z + 0,25) X(z) = z^2z-1 + z + 1

Passo 5

Agora, resolvemos para X(z):
X(z) = z^2z-1 + z + 1z^2 - z + 0,25
Simplificando o numerador:
z^2 + (z + 1)(z - 1)z-1 = z^2 + z^2 - 1z-1 = 2z^2 - 1z-1
Então:
X(z) = 2z^2 - 1(z-1)(z^2 - z + 0,25)
Para encontrar x(k), precisamos realizar a transformada inversa de X(z). Isso envolve decomposição em frações parciais e aplicação da tabela de transformadas mathscrZ. Após os cálculos, a solução no domínio temporal será:

Resposta

A solução da equação de diferenças é:
x(k) = 2^k (34)^k + 45

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