Obtenha o sinal x(k) através da transformada mathscrZ inversa de X(z) :
(b) X(z)=z^2(z-1)(z+0,8)(z+0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o sinal usando a transformada inversa de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas Z, que é uma ferramenta poderosa para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar decompor em frações parciais, o que facilita a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever X(z) = z^2(z-1)(z+0.8)(z+0.5) para facilitar a decomposição:
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, começamos dividindo por . Mas, de forma mais simples, podemos assumir que já está pronto para a decomposição em frações parciais sem precisar fazer a divisão, já que o numerador e denominador têm o mesmo grau.

Passo 3

Agora, vamos expressar z^2(z-1)(z+0.8)(z+0.5) = Az-1 + Bz+0.8 + Cz+0.5 como a soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por z^2 = A(z+0.8)(z+0.5) + B(z-1)(z+0.5) + C(z-1)(z+0.8) para eliminar os denominadores:
Agora, substituímos valores estratégicos de para encontrar , e .

Passo 5

Para encontrar 1^2 = A(1+0.8)(1+0.5) Rightarrow 1 = A(1.8)(1.5) Rightarrow 1 = 2.7A Rightarrow A = 12.7 approx 0.3704 , escolhemos :

Passo 6

Para encontrar (-0.8)^2 = B(-0.8-1)(-0.8+0.5) Rightarrow 0.64 = B(-1.8)(-0.3) Rightarrow 0.64 = 0.54B Rightarrow B approx 0.640.54 approx 1.1852 , escolhemos :

Passo 7

Para encontrar (-0.5)^2 = C(-0.5-1)(-0.5+0.8) Rightarrow 0.25 = C(-1.5)(0.3) Rightarrow 0.25 = -0.45C Rightarrow C approx 0.25-0.45 approx -0.5556 , escolhemos :

Passo 8

Agora que temos X(z) approx 0.3704z-1 + 1.1852z+0.8 + -0.5556z+0.5 , e , podemos escrever como:

Passo 9

Para encontrar mathscrZ^-11z-a = a^ku(k) , aplicamos a transformada inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Onde é a função degrau unitário.

Passo 10

Aplicando a transformada inversa:
x(k) = 0.3704 cdot 1^ku(k) + 1.1852 cdot (-0.8)^ku(k) - 0.5556 cdot (-0.5)^ku(k)
Simplificando:
x(k) = 0.3704 cdot u(k) + 1.1852 cdot (-0.8)^ku(k) - 0.5556 cdot (-0.5)^ku(k)

Resposta

x(k) = 0.3704 cdot u(k) + 1.1852 cdot (-0.8)^ku(k) - 0.5556 cdot (-0.5)^ku(k)

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