Considere a função f:[0,2] \rightarrow[0,2] definida por
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}
A função inversa de f é a função:
(a) f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}
(b) f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}
(c) f^{-1}(x)=\sqrt{4-x^{2}}
(d) f^{-1}(x)=\left(4+x^{2}\right)^{2}
(e) Nenhuma delas

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função f:[0,2]\to[0,2] definida por f(x)=\sqrt{4-x^{2}}.
  • Pergunta qual é a função inversa f^{-1} entre as alternativas (a)–(e).
Informações relevantes que temos:
  • Domínio de f: [0,2].
  • Contradomínio (imagem indicada): [0,2].
  • A forma explícita de f é \sqrt{4-x^{2}}, que para x\in[0,2] produz valores em [0,2].

Passo 2

O que significa encontrar a inversa na prática: se \,y=f(x)\, então a inversa f^{-1} deve dar x em função de y. Ou seja, a ideia é escrever x em termos de y a partir de
y=\sqrt{4-x^{2}}.
Vamos resolver essa equação para x. Isso é o procedimento padrão: isolar x a partir da definição y=f(x).

Passo 3

Resolver y=\sqrt{4-x^{2}} passo a passo:
y=\sqrt{4-x^{2}}
Elevar ambos os lados ao quadrado (atenção: ao elevar ao quadrado podemos introduzir soluções extranhas, por isso depois faremos verificação com os domínios):
y^{2}=4-x^{2}.
Isolando x^{2}:
x^{2}=4-y^{2}.
Tomando a raiz quadrada:
x=\pm\sqrt{4-y^{2}}.

Passo 4

Escolher o sinal correto usando o domínio original: como x pertence a [0,2], devemos escolher a raiz não negativa. Logo
x=\sqrt{4-y^{2}}.
Portanto a inversa escrita em termos de y é
f^{-1}(y)=\sqrt{4-y^{2}}.
Trocando o nome da variável y por x (habilmente apenas uma notação), obtemos a expressão usual da inversa:
f^{-1}(x)=\sqrt{4-x^{2}}.

Passo 5

Verificação por composição (para ter certeza de que não perdemos sinais): calcular f(f(x)) para x\in[0,2]:
f(f(x))=\sqrt{4-\bigl(\sqrt{4-x^{2}}\bigr)^{2}} =\sqrt{4-(4-x^{2})} =\sqrt{x^{2}}=x,
onde no último passo usamos que x\ge0. Isso confirma que f é de fato a sua própria inversa na faixa dada.

Resposta

(c) f^{-1}(x)=\sqrt{4-x^{2}}

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