f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 2 x+3, & \text { se } x<0\end{cases}
Marque a alternativa que apresenta corretamente o domínio e a imagem de f.
(a) Domínio: \mathbf{R} e Imagem: [1, +\infty )
(b) Domínio: \mathbf{R}_{+}e Imagem: [1,+\infty)
(c) Domínio: \mathbf{R} e Imagem: (-\infty,+\infty)
(d) Domínio: \mathbf{R} e Imagem: [ 3,+\infty )
(e) Domínio: \mathbf{R}_{+}e Imagem: (-\infty,+\infty)
e pede para identificar corretamente o domínio e a imagem (parte-valor) de f. Também são fornecidas cinco alternativas (a) a (e) com possíveis pares domínio/imagem.
Informações importantes dadas:
Para x\ge 0 a fórmula é x^{2}+1.
Para x<0 a fórmula é 2x+3.
As alternativas usam os conjuntos \mathbf{R} (todos os reais) e \mathbf{R}_{+} (números não-negativos) para o domínio, e intervalos para a imagem.]
Passo 2
O que é domínio? O domínio de f é o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) está definido.
Aqui temos duas fórmulas, uma válida para x\ge 0 e outra válida para x<0. Essas duas condições juntas cobrem todos os números reais sem deixar nenhum valor de fora (cada real é ou \ge 0 ou <0). Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbf{R}.
Passo 3
O que é imagem (ou contradomínio efetivo/alcance)? A imagem de f é o conjunto de todos os valores y que realmente aparecem como y=f(x) quando x percorre o domínio.
Vamos separar por ramos e achar a imagem de cada ramo.
Para o ramo x\ge 0 com f(x)=x^{2}+1:
Sabemos que x^{2}\ge 0 para todo x. Logo x^{2}+1\ge 1.
Existe x=0 no domínio desse ramo e f(0)=0^{2}+1=1, então o valor mínimo 1 é atingido.
À medida que x\to +\infty, x^{2}+1\to +\infty, então não há teto superior.
Assim a imagem do ramo x\ge 0 é
\{\,x^{2}+1 : x\ge 0\,\} = [1,+\infty).
Passo 4
Agora o ramo x<0 com f(x)=2x+3:
Para x<0, 2x<0, portanto 2x+3<3. Logo todos os valores desse ramo são estritamente menores que 3.
Se deixarmos x bem negativo, 2x+3 tende a -\infty. Portanto não há limite inferior; o ramo produz valores arbitrariamente negativos.
Ao aproximar x de 0 pela esquerda (x\to 0^{-}), 2x+3\to 3^{-} (valores cada vez menores que 3, aproximando 3 por baixo). Note que 3 não é atingido por este ramo porque x=0 não pertence a x<0.
Assim a imagem do ramo x<0 é
\{\,2x+3 : x<0\,\} = (-\infty,3).
Passo 5
A imagem total de f é a união das imagens dos dois ramos:
\text{Im}(f) = (-\infty,3)\;\cup\;[1,+\infty).
Vamos ver que essa união é todo o conjunto dos reais \mathbf{R}. Para verificar:
Se y<3, então y\in(-\infty,3).
Se y\ge 3, então, em particular, y\ge 1, logo y\in[1,+\infty).
Portanto qualquer número real pertence a uma das duas partes da união, o que implica
\text{Im}(f)=(-\infty,+\infty)=\mathbf{R}.
Um comentário concreto: o valor 3 aparece na imagem porque vem do ramo x^{2}+1 ao tomar x=\sqrt{2}, então 3 está em [1,+\infty). Valores maiores que 3 também vêm do ramo quadrático; valores menores que 3 podem vir do ramo linear. Assim não fica nenhum real de fora.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde a domínio \mathbf{R} e imagem (-\infty,+\infty) é a alternativa (c).