Considere a função p(x, y)=A se x <= y e p(x, y)=1 / 10 se x>y para x in1,2,3 e y in2,3,4. Determine o valor de A para que p(x, y) seja uma função de probabilidade conjunta, depois calcule:
a esperança de Y;

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas: primeiro a gente tem que achar o valor de p(x,y)= A, & se x<= y, dfrac110, & se x>y, para que
E(Y)=sumy=2^4 y;P(Y=y)
para e , seja de fato uma função de probabilidade conjunta (ou seja, some tudo igual a 1). Depois, com esse em mãos, a gente calcula a esperança de , que é
Aqui usamos conceitos de probabilidade conjunta (somar todas as probabilidades = 1) e marginalização (somar sobre pra achar ), e depois a definição de esperança.

Passo 2

Vamos achar sumx=1^3sumy=2^4 p(x,y)=1 impondo
8A + 110 = 1 Longrightarrow 8A = 1 - 0.1 = 0.9 Longrightarrow A = 0.98 = 980 = 0.1125
Como há 9 pares no total, dividimos em dois grupos:
  • Quando , temos 8 pares e cada um vale .
  • Quando , só aparece , um par que vale .
    Então

Passo 3

Agora a gente calcula P(Y=2)=2A + tfrac110 =2cdot980 + 110 =1880 + 880 =2680=1340 somando sobre P(Y=3)=3A=3cdot980=2780 :
  • Para P(Y=4)=3A=2780 : têm prob e tem prob .
  • Para : todos os satisfazem , então
  • Para : idem, para todo , então

Passo 4

Por fim, a esperança de E(Y) =sumy=2^4 y,P(Y=y) =2cdot1340 +3cdot2780 +4cdot2780 é
Calculando cada termo:
2cdot1340=2640=5280, 3cdot2780=8180, 4cdot2780=10880
Somando:

Resposta


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