Considere a função
se
e
se
para
e
. Determine o valor de
para que
seja uma função de probabilidade conjunta, depois calcule:
a esperança de
;
a esperança de
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas: primeiro a gente tem que achar o valor de
para que
para
e
, seja de fato uma função de probabilidade conjunta (ou seja, some tudo igual a 1). Depois, com esse
em mãos, a gente calcula a esperança de
, que é
Aqui usamos conceitos de probabilidade conjunta (somar todas as probabilidades = 1) e marginalização (somar sobre
pra achar
), e depois a definição de esperança.
Passo 2
Vamos achar
impondo
Como há 9 pares
no total, dividimos em dois grupos:
- Quando
, temos 8 pares e cada um vale . - Quando
, só aparece , um par que vale .
Então
Passo 3
Agora a gente calcula
somando sobre
:
- Para
: têm prob e tem prob . - Para
: todos os satisfazem , então - Para
: idem, para todo , então
Passo 4
Por fim, a esperança de
é
Calculando cada termo:
Somando: