Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)=A(x+y) com 0 e 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
a distribuição de probabilidade marginal de Y;

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma função densidade de probabilidade conjunta
f(x,y)=A,(x+y), 0
e zero fora. O que o exercício pede é a distribuição marginal de fY(y)=integral f(x,y),dx , ou seja
para os valores de onde a densidade existe.
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e marginalização.
O que vamos precisar:
  1. Normalizar a densidade para achar .
  2. Usar a definição de marginal, integrando em .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante integralx=0^4integraly=0^2x A,(x+y),dy,dx = 1 garantindo que a probabilidade total seja 1:
integral0^2x(x+y),dy =l[x,y+tfracy^22r]0^2x =2x^2+tfrac(2x)^22 =2x^2+2x^2=4x^2
– Integramos primeiro em integral0^4Acdot4x^2,dx =4Aintegral0^4x^2,dx =4Acdot4^33 =4Acdot643 =256A3 :
A=3256
– Agora em :
Para ser 1, temos , logo

Passo 3

Agora vamos achar fY(y) =integralx=y/2^4A,(x+y),dx, 0. Primeiro determinamos o suporte de fY(y) =3256integraly/2^4(x+y),dx :
  • Como integral (x+y),dx =x^22+yx, e integraly/2^4(x+y),dx =l[x^22+yxr]y/2^4 =l(162+4yr) -l((y/2)^22+ycdot y2r) vai até 4, o maior 162+4y=8+4y, (y/2)^22+y y2 =y^28+y^22 =y^28+4y^28 =5y^28 é integraly/2^4(x+y),dx =8+4y-5y^28 =64+32y-5y^28 .
  • Então fY(y) =3256cdot64+32y-5y^28 =3,(64+32y-5y^2)2048 =192+96y-15y^22048 varia de 0 a 8.
Para cada , a desigualdade vira , e também fica limitado em até 4.
Logo
Substituindo :
Vamos calcular essa integral:
então
Detalhando:
Então
Multiplicando por :

Resposta

A densidade marginal de boxed fY(y) = dfrac192+96y-15y^22048,&0 é
á

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