Considere a função densidade de probabilidade conjunta
com
e
, e
fora destes intervalos. Calcule:
a distribuição de probabilidade marginal de
;
a distribuição de probabilidade marginal de
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma função densidade de probabilidade conjunta
e zero fora. O que o exercício pede é a distribuição marginal de
, ou seja
para os valores de
onde a densidade existe.
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e marginalização.
O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e marginalização.
O que vamos precisar:
- Normalizar a densidade para achar
. - Usar a definição de marginal, integrando em
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a constante
garantindo que a probabilidade total seja 1:
– Integramos primeiro em
:
– Agora em
:
Para ser 1, temos
, logo
Passo 3
Agora vamos achar
. Primeiro determinamos o suporte de
:
- Como
e vai até 4, o maior é . - Então
varia de 0 a 8.
Para cada
, a desigualdade
vira
, e
também fica limitado em até 4.
Logo
Logo
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral:
então
Detalhando:
Então
Multiplicando por
:
Resposta
A densidade marginal de
é