- Considere a função
.
(a) Decida sobre a existência de máximos ou mínimos locais e absolutos de
.
(b) Calcule os valores máximo e mínimo de
no intervalo
e determine os pontos nos quais esses valores são assumidos.
(c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
.
(d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
.
(e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
.
(a) Decida sobre a existência de máximos ou mínimos locais e absolutos de
(b) Calcule os valores máximo e mínimo de
(c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
(d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
(e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo
Passo 1
O enunciado pede para analisar extremos de
usando derivadas para encontrar máximos e mínimos locais (item a) e depois obter valores máximo e mínimo em vários intervalos fechados (itens b–e). Nós precisaremos de
,
e do critério de primeira e segunda derivadas, além do teorema do valor extremo que diz para avaliar
em pontos críticos e nos extremos dos intervalos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Usamos a segunda derivada para classificar esses pontos:
Em
:
portanto
é um máximo local. Em
:
logo
é um mínimo local. Os valores são
Como é um polinômio de grau 3, não há máximos ou mínimos absolutos globais em
.
Passo 4
Item (b): no intervalo
avaliamos
em
:
Logo o mínimo em
é
em
e o máximo é
em
.
Passo 5
Item (c): em
avaliamos
:
Assim, o mínimo é
, nos pontos
e
, e o máximo é
em
.
Passo 6
Item (d): em
avaliamos
:
Logo o mínimo é
em
e
, e o máximo é
em
e
.
Passo 7
Item (e): em
avaliamos
:
Portanto o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Resposta
(a)
dá pontos críticos em
(máximo local,
) e
(mínimo local,
); não há extremos globais em
.
(b) Em : mínimo
em
, máximo
em
.
(c) Em : mínimo
em
; máximo
em
.
(d) Em : mínimo
em
; máximo
em
.
(e) Em : mínimo
em
; máximo
em
.
(b) Em
(c) Em
(d) Em
(e) Em