1. Considere a função f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+3.
    (a) Decida sobre a existência de máximos ou mínimos locais e absolutos de f.
    (b) Calcule os valores máximo e mínimo de f no intervalo [0,3] e determine os pontos nos quais esses valores são assumidos.
    (c) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [1 / 2,3].
    (d) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [1 / 2,5 / 2].
    (e) Repita o ítem (b), considerando o intervalo [3 / 4,9 / 4].

Passo 1

O enunciado pede para analisar extremos de
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 3
usando derivadas para encontrar máximos e mínimos locais (item a) e depois obter valores máximo e mínimo em vários intervalos fechados (itens b–e). Nós precisaremos de f'(x), f''(x) e do critério de primeira e segunda derivadas, além do teorema do valor extremo que diz para avaliar f em pontos críticos e nos extremos dos intervalos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2).
Logo, os pontos críticos são x = 1 e x = 2.

Passo 3

Usamos a segunda derivada para classificar esses pontos:
f''(x) = 12x - 18.
Em x = 1:
f''(1) = 12\cdot1 - 18 = -6 < 0,
portanto x=1 é um máximo local. Em x = 2:
f''(2) = 12\cdot2 - 18 = 6 > 0,
logo x=2 é um mínimo local. Os valores são
f(1) = 2 - 9 + 12 + 3 = 8, \qquad f(2) = 16 - 36 + 24 + 3 = 7.
Como é um polinômio de grau 3, não há máximos ou mínimos absolutos globais em \mathbb{R}.

Passo 4

Item (b): no intervalo [0,3] avaliamos f em x=0,1,2,3:
f(0)=3,\quad f(1)=8,\quad f(2)=7,\quad f(3)=54-81+36+3=12.
Logo o mínimo em [0,3] é 3 em x=0 e o máximo é 12 em x=3.

Passo 5

Item (c): em \bigl[\tfrac12,3\bigr] avaliamos x=\tfrac12,1,2,3:
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac14 - \tfrac94 +6+3=7,\quad f(1)=8,\quad f(2)=7,\quad f(3)=12.
Assim, o mínimo é 7, nos pontos x=\tfrac12 e x=2, e o máximo é 12 em x=3.

Passo 6

Item (d): em \bigl[\tfrac12,\tfrac52\bigr] avaliamos x=\tfrac12,1,2,\tfrac52:
f(\tfrac12)=7,\quad f(1)=8,\quad f(2)=7,\quad f(\tfrac52)=2\cdot(\tfrac52)^3-9(\tfrac52)^2+12\cdot\tfrac52+3=8.
Logo o mínimo é 7 em x=\tfrac12 e x=2, e o máximo é 8 em x=1 e x=\tfrac52.

Passo 7

Item (e): em \bigl[\tfrac34,\tfrac94\bigr] avaliamos x=\tfrac34,1,2,\tfrac94:
f(\tfrac34)=0,84375-5,0625+9+3=7,78125,\quad f(1)=8,\quad f(2)=7,
f(\tfrac94)=2\cdot(2,25)^3-9(2,25)^2+12\cdot2,25+3=7,21875.
Portanto o mínimo é 7 em x=2 e o máximo é 8 em x=1.

Resposta

(a) f'(x)=6(x-1)(x-2) dá pontos críticos em x=1 (máximo local, f(1)=8) e x=2 (mínimo local, f(2)=7); não há extremos globais em \mathbb{R}.
(b) Em [0,3]: mínimo 3 em x=0, máximo 12 em x=3.
(c) Em [\tfrac12,3]: mínimo 7 em x=\tfrac12,2; máximo 12 em x=3.
(d) Em [\tfrac12,\tfrac52]: mínimo 7 em x=\tfrac12,2; máximo 8 em x=1,\tfrac52.
(e) Em [\tfrac34,\tfrac94]: mínimo 7 em x=2; máximo 8 em x=1.

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