1. Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Se f é derivável em (a, b) e f^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in(a, b), mostre que existe uma constante C tal que f(x)=C e^{x}, \forall x \in[a, b]. (sug.: verifique que a função \varphi(x)=f(x) e^{-x} é constante) 。

Passo 1

O enunciado diz que f\colon[a,b]\to\mathbb{R} é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e satisfaz
f'(x)=f(x), \quad\forall x\in(a,b).
Queremos mostrar que existe uma constante C tal que
f(x)=C\,e^{x}, \quad\forall x\in[a,b].
Para isso, vamos usar o truque de definir uma nova função
\varphi(x)=f(x)\,e^{-x}
e verificar que ela é constante.

Passo 2

Definimos
\varphi(x)=f(x)\,e^{-x}.
Como f é derivável em (a,b) e x\mapsto e^{-x} também o é, pela regra do produto temos, para todo x\in(a,b),
\varphi'(x) =\bigl(f(x)\bigr)'\,e^{-x} +f(x)\,\bigl(e^{-x}\bigr)' =f'(x)\,e^{-x} +f(x)\,(-e^{-x}).

Passo 3

Substituindo f'(x)=f(x) na expressão de \varphi'(x), obtemos
\varphi'(x) =f(x)\,e^{-x} -f(x)\,e^{-x} =0.
Logo, \varphi'(x)=0 para todo x\in(a,b). Pela propriedade básica de derivadas, isso implica que \varphi é constante em [a,b]. Ou seja, existe C\in\mathbb{R} tal que
\varphi(x)=C, \quad\forall x\in[a,b].

Passo 4

Da definição de \varphi segue
f(x)\,e^{-x}=C \quad\Longrightarrow\quad f(x)=C\,e^{x}, \quad\forall x\in[a,b].
Isso conclui a prova.

Resposta

A constante C é dada por C=f(a)e^{-a}, e de fato
f(x)=C\,e^{x}
para todo x\in[a,b].

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