- Seja
uma função contínua. Se
é derivável em
e
, mostre que existe uma constante
tal que
. (sug.: verifique que a função
é constante) 。
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
, derivável em
e satisfaz
Queremos mostrar que existe uma constante
tal que
Para isso, vamos usar o truque de definir uma nova função
e verificar que ela é constante.
Passo 2
Definimos
Como
é derivável em
e
também o é, pela regra do produto temos, para todo
,
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Logo,
para todo
. Pela propriedade básica de derivadas, isso implica que
é constante em
. Ou seja, existe
tal que
Passo 4
Da definição de
segue
Isso conclui a prova.
Resposta
A constante
é dada por
, e de fato
para todo
.