1. Mostre que \theta<\operatorname{tg} \theta, para 0<\theta<\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no intervalo (0,\pi/2), vale a desigualdade
\theta < \tan\theta.
O conteúdo principal aqui é usar cálculo diferencial, em particular definir uma função cuja derivada aponte monotonicidade positiva.

Passo 2

Definimos a função
g(\theta)=\tan\theta - \theta.
Se conseguirmos provar que g(\theta)>0 para todo \theta\in(0,\pi/2), então teremos exatamente \tan\theta - \theta>0, ou seja \theta<\tan\theta.

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g'(\theta)=\frac{d}{d\theta}(\tan\theta)-\frac{d}{d\theta}(\theta) =\operatorname{sec}^2\theta - 1 =\tan^2\theta.
Como em (0,\pi/2) temos \tan^2\theta>0, conclui-se que
g'(\theta)>0\quad\text{para todo }\theta\in(0,\pi/2).

Passo 4

Derivada positiva significa que g é estritamente crescente em (0,\pi/2). Além disso, em \theta=0 temos
g(0)=\tan0-0=0.
Logo, para qualquer \theta>0, a monotonicidade implica
g(\theta)>g(0)=0.

Resposta

Portanto, para todo \theta\in(0,\pi/2) segue
\theta < \tan\theta.

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