- Mostre que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no intervalo
, vale a desigualdade
O conteúdo principal aqui é usar cálculo diferencial, em particular definir uma função cuja derivada aponte monotonicidade positiva.
Passo 2
Definimos a função
Se conseguirmos provar que
para todo
, então teremos exatamente
, ou seja
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Como em
temos
, conclui-se que
Passo 4
Derivada positiva significa que
é estritamente crescente em
. Além disso, em
temos
Logo, para qualquer
, a monotonicidade implica
Resposta
Portanto, para todo
segue