Considere a função f(x)=1+x ln xx. O objetivo deste exercício é esboçar o gráfico de f. Para o efeito, deve fazer o indicado em cada uma das seguintes alíneas (onde também se indica a parte cotação total da pergunta que lhe corresponde.)
  1. (1 valor) encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais ao gráfico de f;
  2. (1 valor) encontre os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;
  3. ( 0.25 valores) encontre os máximos e os mínimos locais de f;
  4. (1 valor) encontre os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e aqueles onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo;
  5. ( 0.25 valores) encontre os pontos de inflexão do gráfico de f;
  6. ( 0.5 valores) use as informações das alíneas anteriores para esboçar o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede um esboço completo do gráfico da função f(x)=1+xln xx=ln x + 1x com domínio x>0. Vamos precisar de limites (para assíntotas), da primeira derivada (para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

Para as assíntotas verticais e horizontais, calculamos: limite em 0 e em +infty.
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(ln x + tfrac1xr)=+infty,
logo x=0 é assíntota vertical.
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(ln x + tfrac1xr)=+infty,
então não há assíntota horizontal (nem oblíqua linear).

Passo 3

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(ln x + x^-1r)=1x - 1x^2=x-1x^2
O sinal de f'(x) é negativo em 0 e positivo em x>1. Assim f é decrescente em (0,1) e crescente em (1,infty).

Passo 4

Os únicos pontos críticos são onde f'(x)=0, isto é x=1. Como f' troca de negativo para positivo em x=1, há um mínimo local em x=1. O valor é f(1)=ln1+1=1. Não há máximos locais.

Passo 5

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(x-1x^2r)= -1x^2+2x^3=2-xx^3
Temos f''(x)>0 para 0 (concavidade voltada para cima) e f''(x)<0 para x>2 (concavidade voltada para baixo).

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, isto é x=2. O valor de f ali é f(2)=ln2+tfrac12.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, reunimos todas as informações: domínio (0,infty), assíntota vertical em x=0, decrescente até x=1 com mínimo (1,1), crescente depois, ponto de inflexão em (2,ln2+tfrac12), concavidade mudando em x=2 e f(x)to+infty como xto+infty (o termo ln x domina). A curva sai de +∞ em xto0^+, cai até (1,1), sobe passando por (2,ln2+tfrac12) e cresce indefinidamente.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que se aproxima verticalmente de x=0, atinge um vale em (1,1), inflecte em x=2 e suba sem limite.

Resposta

Assíntotas: vertical em x=0; não há assíntota horizontal. Monotonicidade: decrescente em (0,1), crescente em (1,∞). Extremo: mínimo local em (1,1). Concavidade: côncava para cima em (0,2), côncava para baixo em (2,∞). Ponto de inflexão em l(2,ln2+tfrac12r). Gráfico esboçado de acordo com esses dados.

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