Considere a função
. O objetivo deste exercício é esboçar o gráfico de
. Para o efeito, deve fazer o indicado em cada uma das seguintes alíneas (onde também se indica a parte cotação total da pergunta que lhe corresponde.)
- (1 valor) encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais ao gráfico de
;
- (1 valor) encontre os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente;
- ( 0.25 valores) encontre os máximos e os mínimos locais de
;
- (1 valor) encontre os intervalos onde o gráfico de
tem a concavidade voltada para cima e aqueles onde o gráfico de
tem a concavidade voltada para baixo;
- ( 0.25 valores) encontre os pontos de inflexão do gráfico de
;
- ( 0.5 valores) use as informações das alíneas anteriores para esboçar o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço completo do gráfico da função
com domínio
. Vamos precisar de limites (para assíntotas), da primeira derivada (para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
Para as assíntotas verticais e horizontais, calculamos: limite em 0 e em
.
logo
é assíntota vertical.
então não há assíntota horizontal (nem oblíqua linear).
Passo 3
Calculamos a primeira derivada:
O sinal de
é negativo em
e positivo em
. Assim
é decrescente em
e crescente em
.
Passo 4
Os únicos pontos críticos são onde
, isto é
. Como
troca de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
. O valor é
. Não há máximos locais.
Passo 5
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Temos
para
(concavidade voltada para cima) e
para
(concavidade voltada para baixo).
Passo 6
O ponto de inflexão ocorre onde
, isto é
. O valor de
ali é
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, reunimos todas as informações: domínio
, assíntota vertical em
, decrescente até
com mínimo
, crescente depois, ponto de inflexão em
, concavidade mudando em
e
como
(o termo
domina). A curva sai de +∞ em
, cai até
, sobe passando por
e cresce indefinidamente.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que se aproxima verticalmente de , atinge um vale em
, inflecte em
e suba sem limite.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que se aproxima verticalmente de
Resposta
Assíntotas: vertical em x=0; não há assíntota horizontal. Monotonicidade: decrescente em (0,1), crescente em (1,∞). Extremo: mínimo local em (1,1). Concavidade: côncava para cima em (0,2), côncava para baixo em (2,∞). Ponto de inflexão em
. Gráfico esboçado de acordo com esses dados.