Encontre a área entre o gráfico de f e o eixo dos x.
f(x)=raizx+1, x in[3,8].

Passo 1

O problema pede a área sob o gráfico de f(x)=√(x+1) entre x=3 e x=8, então vamos usar o conceito de integral definida para calcular essa área.

Passo 2

A área pedida é dada por integral3^8raizx+1,dx
Para simplificar a integral, fazemos a substituição u = x+1. Assim, quando x=3, u=4; e quando x=8, u=9. Também temos du = dx. A integral vira:
integral3^8raizx+1,dx = integral4^9u^1/2,du

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de u^1/2. Sabemos que
integral u^1/2,du = 23u^3/2 + C
Aplicando os limites de 4 a 9, temos:
23u^3/2|4^9 = 23l(9^3/2 - 4^3/2r)

Passo 4

Calculamos as potências: 9^3/2 = (√9)^3 = 3^3 = 27 e 4^3/2 = (√4)^3 = 2^3 = 8. Logo:
23(27 - 8) = 23 times 19 = 383

Resposta

A área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [3,8] é 383.

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