Seja f: R^2 R uma função diferenciável. Sabendo que f(1,2)=3 e que
partial fpartial x(1,2)=1, partial fpartial y(1,2)=-1
calcule o plano tangente e a reta normal ao gráfico de f em (1,2).

Passo 1

A questão trata de encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico de uma função diferenciável f:ℝ²→ℝ no ponto (1,2, f(1,2))=(1,2,3). Para isso vamos usar o conteúdo de superfícies em ℝ³:
  • Fórmula do plano tangente a z=f(x,y):
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0)igl(x - x0r) + fy(x0,y0)igl(y - y0r) 
  • A reta normal ao gráfico de z=f(x,y) em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) tem direção dada pelo vetor normal ao plano: (fx,fy,-1).

Passo 2

Para o ponto (x₀,y₀)=(1,2) temos f(1,2)=3, f_x(1,2)=1 e f_y(1,2)=-1. Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 3 = 1,(x-1) + (-1),(y-2)
Agora simplificamos:
z - 3 = x - 1 - y + 2 Longrightarrow z = x - y + 4

Passo 3

O vetor normal ao plano é n=(f_x,f_y,-1)=(1,-1,-1). Assim, a reta normal que passa por (1,2,3) pode ser escrita em forma paramétrica:
(x,y,z) = (1,2,3) + t,(1,-1,-1), tinR

Resposta

Plano tangente:
z - 3 = (x - 1) - (y - 2)
ou equivalentemente
z = x - y + 4
Reta normal:
(x,y,z) = (1,2,3) + t,(1,-1,-1), tinR

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