Seja
uma função diferenciável. Sabendo que
e que
calcule o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
em
.
Passo 1
A questão trata de encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico de uma função diferenciável f:ℝ²→ℝ no ponto (1,2, f(1,2))=(1,2,3). Para isso vamos usar o conteúdo de superfícies em ℝ³:
- Fórmula do plano tangente a z=f(x,y):
- A reta normal ao gráfico de z=f(x,y) em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) tem direção dada pelo vetor normal ao plano:
.
Passo 2
Para o ponto (x₀,y₀)=(1,2) temos f(1,2)=3, f_x(1,2)=1 e f_y(1,2)=-1. Substituindo na fórmula do plano tangente:
Agora simplificamos:
Passo 3
O vetor normal ao plano é n=(f_x,f_y,-1)=(1,-1,-1). Assim, a reta normal que passa por (1,2,3) pode ser escrita em forma paramétrica:
Resposta
Plano tangente:
ou equivalentemente
Reta normal: