Considere a função
e a parametrização
e
.
(a) Calcule as derivadas parciais de
.
(b) Use a regra da cadeia para calcular
em termos das variáveis originais e de
.
(c) Determine
.
(d) Calcule
a partir do item anterior.
(e) Substitua os valores de
e
pelas suas expressões em
na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).
(a) Calcule as derivadas parciais de
(b) Use a regra da cadeia para calcular
(c) Determine
(d) Calcule
(e) Substitua os valores de
Passo 1
O enunciado dá a função
e a parametrização
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia em várias variáveis. Vamos precisar calcular
,
, aplicar
e também compor diretamente
para comparar.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Como
temos
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia. Primeiro
Logo
Esse é o
em termos de
e
.
Passo 4
Agora compor
com a parametrização:
Expandindo e somando termos, obtemos
Passo 5
Diferenciando diretamente
:
Passo 6
Por fim, substituir
e
na expressão da regra da cadeia do Passo 3:
Então
que coincide com o resultado do Passo 5.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Ao substituir e
em (b), recupera-se exatamente o resultado de (d).
(b)
(c)
(d)
(e) Ao substituir