Considere a função
f(x)=x^2+1x^2-(4 a+2 p) x+3 p^2
sendo a>0 um número real fixado e p>0.
O domínio de f será R se os valores de p estiverem no intervalo:
(A) ] a,+infty[
(B) ] a(1+raiz3),+infty[
(C) ] 0, a raiz3[
(D) ] 0, a(1+raiz3)[
(E) [raiz3,+infty[

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x^2+1x^2-(4a+2p),x+3p^2
com a>0 fixo e p>0. Para o domínio de f ser todo R, o denominador nunca pode se anular, ou seja, o polinômio
x^2-(4a+2p),x+3p^2
não deve ter raízes reais. Vamos usar o Critério do Discriminante para isso.

Passo 2

Seja
g(x)=x^2-(4a+2p),x+3p^2
O discriminante de g é
De<a=(4a+2p)^2-4cdot1cdot3p^2

Passo 3

Calculando De<a:
De<a=(4a+2p)^2-12p^2 =16a^2+16ap+4p^2-12p^2 =16a^2+16ap-8p^2 =8l(2a^2+2ap-p^2r)

Passo 4

Para não haver raízes reais em g, precisamos de De<a<0, ou seja
2a^2+2ap-p^2<0 Long<=ftrightarrow p^2-2ap-2a^2>0

Passo 5

A equação p^2-2ap-2a^2=0 tem raízes
p=al(1pmraiz3r)
Como 1-raiz3<0, a única raiz positiva é p2=a(1+raiz3). O polinômio p^2-2ap-2a^2 é convexo, logo é positivo para
p>a(1+raiz3)
ou p<a(1-raiz3), mas como p>0 descartamos p<a(1-raiz3).

Resposta

O domínio de f é R exatamente quando
pinl(a(1+raiz3),+inftyr),
isto é, alternativa (B).

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