Considere a função 
 . Encontre o máximo e mínimo de 
  sobre a região dado por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o máximo e o mínimo da função 
  dentro da região onde 
 . Isso está relacionado a otimização de funções de duas variáveis e envolve calcular derivadas parciais e analisar os pontos críticos tanto no interior quanto na fronteira da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos no interior da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
  e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a 
 :
Igualando a zero:
Então, 
  ou 
 .
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a 
 :
Igualando a zero:
Então, 
  ou 
 .
Passo 5
Vamos analisar os casos:
- 
Quando
: - Da equação 
, temos .  - Então, os pontos são 
e .  
 - Da equação 
 - 
Quando
: - Da equação 
, temos .  - Então, os pontos são 
e .  
 - Da equação 
 - 
Quando
e : - Subtraindo as duas equações: 
, o que não tem solução. Então, não há outros pontos críticos além dos já encontrados.  
 - Subtraindo as duas equações: 
 
Passo 6
Agora, vamos avaliar 
  nesses pontos críticos:
Passo 7
Também precisamos verificar os valores de 
  na fronteira da região, onde 
 . Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde 
  e 
 .
Substituindo na função:
O termo 
  varia entre 0 e 4, então 
  na fronteira varia entre 
  e 
 .
Calculando:
Passo 8
Comparando todos os valores:
- Interno: máximo de aproximadamente 0,7358 e mínimo de aproximadamente 0,3679.
 - Fronteira: máximo de aproximadamente 0,1465 e mínimo de aproximadamente 0,0733.
 
Resposta
O máximo de 
  na região é aproximadamente 
  nos pontos 
  e 
 , e o mínimo é aproximadamente 
  na fronteira da região.