Considere a função f(x, y)=3 x^2-5 y^2+3 x y-2 x+9 y-1+cos (x)-sen(y). Calcule:
partial^2 fpartial x^2(x, y), partial^2 fpartial y^2(x, y), partial^2 fpartial x partial y(x, y) e partial^2 fpartial y partial x(x, y)

Passo 1

Temos a função f(x, y)=3x^2-5y^2+3xy-2x+9y-1+cos(x)-sin(y) e queremos as derivadas parciais de segunda ordem fxx,fyy,fxy e fyx. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e Hessiano; para isso precisamos primeiro obter as derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais de primeira ordem, lembramos que ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa. Assim,
fx(x,y)=partial fpartial x=6x+3y-2-sin(x),
fy(x,y)=partial fpartial y=-10y+3x+9-cos(y)

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter as derivadas de segunda ordem puras. Derivando fx em relação a x e fy em relação a y:
fxx(x,y)=partial^2 fpartial x^2=6-cos(x),
fyy(x,y)=partial^2 fpartial y^2=-10+sin(y)

Passo 4

Por fim, para os mistos, derivamos fx em relação a y e fy em relação a x. Observando os termos em fx e fy:
fxy(x,y)=partial^2 fpartial ypartial x=3,
fyx(x,y)=partial^2 fpartial xpartial y=3

Resposta

fxx(x,y)=6-cos(x), fyy(x,y)=-10+sin(y), fxy(x,y)=3, fyx(x,y)=3

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