Considere a função f(x, y)=3 x^2-5 y^2+7 x y+2 x-4 y-3 :
Calcule partial^2 fpartial x^2(0,0), partial^2 fpartial y^2(0,-1), partial^2 fpartial x partial y(1,1) e partial^2 fpartial y partial x(-1,1)

Passo 1

Estamos lidando com derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=3x^2-5y^2+7xy+2x-4y-3. O conteúdo aqui é cálculo multivariável: mais precisamente, derivadas parciais e derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos usar as regras de diferenciação para polinômios (regra do poder e regra da soma).

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem. Diferenciando em relação a x:
partial fpartial x=6x+7y+2
E diferenciando em relação a y:
partial fpartial y=-10y+7x-4

Passo 3

Agora, obtemos as derivadas parciais de segunda ordem. Diferenciando partial fpartial x=6x+7y+2 outra vez em relação a x e y:
partial^2 fpartial x^2=6, partial^2 fpartial xpartial y=7
E diferenciando partial fpartial y=-10y+7x-4 em relação a y e x:
partial^2 fpartial y^2=-10, partial^2 fpartial ypartial x=7

Passo 4

Como todas essas derivadas de segunda ordem são constantes, seus valores não dependem do ponto em que são avaliadas. Portanto, temos:

Resposta

6,,-10,,7,,7

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