Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^12 y^12(x^3+y^12)^5

Passo 1

Estamos considerando a função f(x,y)=x^12y^12(x^3+y^12)^5 e queremos mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. O conteúdo principal é limite de funções de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos diferentes para verificar que o limite depende do caminho.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em f, temos
f(x,0)=x^12cdot0^12(x^3+0^12)^5=0x^15=0
Logo, lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0.

Passo 3

Considere o caminho y=x^1/4 com x>=0. Então y^12=(x^1/4)^12=x^3 e
x^3+y^12=x^3+x^3=2x^3,
(x^3+y^12)^5=(2x^3)^5=32,x^15
O numerador fica x^12y^12=x^12cdot x^3=x^15. Assim,
f(x,x^1/4)=x^1532,x^15=132
Logo, lim(x,x^1/4)to(0,0)f(x,x^1/4)=1/32.

Passo 4

Como os limites por caminhos distintos são diferentes ( 0 e 1/32), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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