Considere a função
.
(a) Encontre o domínio de
;
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja,
e
;
(c) Encontre os pontos críticos de
;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(sinal de
);
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de
;
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de
(sinal de
);
(g) Usando as informações obtidas nos itens anteriores, esboçe o gráfico.
(a) Encontre o domínio de
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja,
(c) Encontre os pontos críticos de
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de
(g) Usando as informações obtidas nos itens anteriores, esboçe o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
nos seguintes itens:
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos;
(c) pontos críticos;
(d) intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) máximos e mínimos locais;
(f) concavidade e pontos de inflexão;
(g) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo diferencial de funções polinomiais, envolvendo derivadas primeira e segunda.
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos;
(c) pontos críticos;
(d) intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) máximos e mínimos locais;
(f) concavidade e pontos de inflexão;
(g) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo diferencial de funções polinomiais, envolvendo derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Como
é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos números reais.
Portanto,
Portanto,
Passo 3
Para as intersecções com os eixos:
– No eixo ,
, então
– No eixo
logo o ponto
.
– No eixo , resolvemos
:
– No eixo
Dessa fatoração, vêm as raízes
(simples) e
(dupla). Assim, as intersecções são em
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
Igualando a zero,
em
e
. Esses são os pontos críticos.
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
– Para ,
e
, produto
, com
torna
decresce em
.
– Para ,
,
, produto
, com
torna
cresce em
.
– Para ,
,
, produto
, com
torna
decresce em
.
– Para
– Para
– Para
Das mudanças de sinal de
:
– Em ,
vai de negativo a positivo
mínimo local.
– Em ,
vai de positivo a negativo
máximo local.
Calculando os valores:
– Em
– Em
Calculando os valores:
Passo 6
Derivada segunda para concavidade e inflexão:
–
em
, ponto de inflexão cujo valor é
– Para
,
concavidade para cima em
.
– Para ,
concavidade para baixo em
.
– Para
Passo 7
Com todos os dados, o esboço é:
– Passa pelos pontos e
.
– Mínimo local em .
– Ponto de inflexão em , mudando de concavidade para cima (à esquerda) para concavidade para baixo (à direita).
– Máximo local em (que coincide com a raiz dupla).
– Decresce até , cresce até
, depois decresce novamente.
– Passa pelos pontos
– Mínimo local em
– Ponto de inflexão em
– Máximo local em
– Decresce até
Resposta
(a)
(b) ;
em
e
, pontos
e
.
(c) Pontos críticos em e
.
(d) decresce em
, cresce em
, decresce em
.
(e) Mínimo local em ; máximo local em
.
(f) Concavidade para cima em , para baixo em
; ponto de inflexão em
.
(g) Gráfico conforme descrição no Passo .
(b)
(c) Pontos críticos em
(d)
(e) Mínimo local em
(f) Concavidade para cima em
(g) Gráfico conforme descrição no Passo