3(4,0) Considere a função f(x)=-x^{3}+6 x^{2}-9 x.
(a) Encontre o domínio de f;
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja, f(0) e f(x)=0;
(c) Encontre os pontos críticos de f\left(f^{\prime}(x)=0\right);
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f (sinal de f^{\prime} );
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de f;
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de f (sinal de f^{\prime \prime} );
(g) Usando as informações obtidas nos itens anteriores, esboçe o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x) = -x^{3} + 6x^{2} - 9x
nos seguintes itens:
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos;
(c) pontos críticos;
(d) intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) máximos e mínimos locais;
(f) concavidade e pontos de inflexão;
(g) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo diferencial de funções polinomiais, envolvendo derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Como f é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos números reais.
Portanto,
\text{Domínio}(f) = \mathbb{R}.í

Passo 3

Para as intersecções com os eixos:
– No eixo y, x=0, então
f(0) = -0 + 0 - 0 = 0,
logo o ponto (0,0).
– No eixo x, resolvemos f(x)=0:
-x^{3}+6x^{2}-9x = -x(x^{2}-6x+9) = -x(x-3)^{2} = 0
Dessa fatoração, vêm as raízes x=0 (simples) e x=3 (dupla). Assim, as intersecções são em (0,0) e (3,0).

Passo 4

Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+6x^{2}-9x\bigr) = -3x^{2} + 12x - 9 = -3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr) = -3(x-1)(x-3).
Igualando a zero, f'(x)=0 em x=1 e x=3. Esses são os pontos críticos.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x)=-3(x-1)(x-3):
– Para x<1, (x-1)<0 e (x-3)<0, produto (x-1)(x-3)>0, com -3 torna f'<0 \to f decresce em (-\infty,1).
– Para 1<x<3, (x-1)>0, (x-3)<0, produto (x-1)(x-3)<0, com -3 torna f'>0 \to f cresce em (1,3).
– Para x>3, (x-1)>0, (x-3)>0, produto >0, com -3 torna f'<0 \to f decresce em (3,\infty).
Das mudanças de sinal de f':
– Em x=1, f' vai de negativo a positivo \to mínimo local.
– Em x=3, f' vai de positivo a negativo \to máximo local.
Calculando os valores:
f(1) = -1 + 6 - 9 = -4, \qquad f(3) = -27 + 54 - 27 = 0.

Passo 6

Derivada segunda para concavidade e inflexão:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+12x-9\bigr) = -6x + 12 = -6(x-2).
f''(x)=0 em x=2, ponto de inflexão cujo valor é
f(2) = -8 + 24 - 18 = -2.
– Para x<2, x-2<0 \to f''(x)>0 \to concavidade para cima em (-\infty,2).
– Para x>2, x-2>0 \to f''(x)<0 \to concavidade para baixo em (2,\infty).

Passo 7

Com todos os dados, o esboço é:
– Passa pelos pontos (0,0) e (3,0).
– Mínimo local em (1,-4).
– Ponto de inflexão em (2,-2), mudando de concavidade para cima (à esquerda) para concavidade para baixo (à direita).
– Máximo local em (3,0) (que coincide com a raiz dupla).
– Decresce até x=1, cresce até x=3, depois decresce novamente.

Resposta

(a) \mathbb{R}
(b) f(0)=0 \to (0,0); f(x)=0 em x=0 e x=3, pontos (0,0) e (3,0).
(c) Pontos críticos em x=1 e x=3.
(d) f decresce em (-\infty,1), cresce em (1,3), decresce em (3,\infty).
(e) Mínimo local em (1,-4); máximo local em (3,0).
(f) Concavidade para cima em (-\infty,2), para baixo em (2,\infty); ponto de inflexão em (2,-2).
(g) Gráfico conforme descrição no Passo 7.

Exercícios relacionados