Uma indústria monitora a quantidade acumulada de gás poluente emitido (em toneladas) ao longo dos dias após o início de uma nova operação. A quantidade total de poluentes emitidos após
dias é dada pela função:
(a) Quais as derivadas sucessivas de
.
(b) Qual é a razão média de emissões entre o
e
dia?
(c) Qual é a razão de emissões no
dia?
(d) Qual a quantidade de gás emitido no
dia?
(b) Qual é a razão média de emissões entre o
(c) Qual é a razão de emissões no
(d) Qual a quantidade de gás emitido no
Passo 1
O enunciado dá a função de emissão acumulada
em que
é o número de dias após o início da operação. Precisamos de (a) suas derivadas sucessivas, (b) a razão média entre
e
, (c) a razão (instantânea) no dia
e (d) o valor de
. Usaremos a regra de potência para derivar e as definições de razão média e taxa instantânea.
Passo 2
Para as derivadas aplicamos a regra
. Assim:
Passo 3
A razão média de emissões entre
e
é
Calculando
e
:
Logo,
Passo 4
A razão instantânea no
dia é
. Substituindo em
:
Passo 5
A quantidade emitida no
dia é
. Calculamos:
Resposta
(a)
(b) (toneladas por dia).
(c) (toneladas por dia).
(d) (toneladas).
(b)
(c)
(d)