2(1,6) Uma indústria monitora a quantidade acumulada de gás poluente emitido (em toneladas) ao longo dos dias após o início de uma nova operação. A quantidade total de poluentes emitidos após t dias é dada pela função:
E(t)=2 t^{3}-15 t^{2}+36 t
(a) Quais as derivadas sucessivas de E(t).
(b) Qual é a razão média de emissões entre o 2^{0} e 6^{0} dia?
(c) Qual é a razão de emissões no 5^{0} dia?
(d) Qual a quantidade de gás emitido no 4^{\circ} dia?

Passo 1

O enunciado dá a função de emissão acumulada
E(t) = 2t^{3} - 15t^{2} + 36t
em que t é o número de dias após o início da operação. Precisamos de (a) suas derivadas sucessivas, (b) a razão média entre t=2 e t=6, (c) a razão (instantânea) no dia t=5 e (d) o valor de E(4). Usaremos a regra de potência para derivar e as definições de razão média e taxa instantânea.

Passo 2

Para as derivadas aplicamos a regra \frac{d}{dt}[t^{n}]=nt^{n-1}. Assim:
E'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}\bigr) - \frac{d}{dt}\bigl(15t^{2}\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(36t\bigr) = 6t^{2} - 30t + 36.
E''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(6t^{2} - 30t + 36\bigr) = 12t - 30.
E'''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(12t - 30\bigr) = 12.

Passo 3

A razão média de emissões entre t=2 e t=6 é
\frac{E(6)-E(2)}{6-2}.
Calculando E(6) e E(2):
E(6)=2\cdot6^{3}-15\cdot6^{2}+36\cdot6=432-540+216=108,
E(2)=2\cdot2^{3}-15\cdot2^{2}+36\cdot2=16-60+72=28.
Logo,
\frac{108 - 28}{4} = \frac{80}{4} = 20.

Passo 4

A razão instantânea no 5^{\circ} dia é E'(5). Substituindo em E'(t)=6t^{2}-30t+36:
E'(5)=6\cdot5^{2}-30\cdot5+36=150-150+36=36.

Passo 5

A quantidade emitida no 4^{\circ} dia é E(4). Calculamos:
E(4)=2\cdot4^{3}-15\cdot4^{2}+36\cdot4=128-240+144=32.

Resposta

(a) \;E'(t)=6t^{2}-30t+36,\;E''(t)=12t-30,\;E'''(t)=12.
(b) \;20 (toneladas por dia).
(c) \;36 (toneladas por dia).
(d) \;32 (toneladas).

Exercícios relacionados