Vamos analisá-la usando conceitos de Álgebra Linear, para isso responda os itens abaixo:
Representação matricial
a) Apresente a matriz A tal que Q(\vec{x})=\vec{x}^{T} A \vec{x};
Autovalores e autovetores
b) Encontre os autovalores da matriz A encontrada no item a);
c) Encontre os autovetores associados aos autovalores encontrados acima. Sugestão: denote-os por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Base ortonormal
d) Calcule a norma dos autovetores encontrados no item c). E, se eles não tiverem norma 1, normalize-os. Sugestão: denote-os por \vec{u}_{1} e \vec{u}_{2} os autovetores com norma 1.
e) O conjunto \mathcal{B}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\}, formado pelos autovetores de A normalizados, é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
Diagonalização e mudança de variáveis
f) A matriz A encontrada no item a) é diagonalizável? Se for, diagonalize esta matriz, ou seja, apresente uma matriz diagonal D e uma matriz P, sua inversa P^{-1} tal que A=P D P^{-1}.
g) No caso de A ser diagonalizável, a matriz P obtida acima é ortogonal? Justifique.
h) Obtenha novas variáveis y_{1} e y_{2} tais que quando escrevemos x_{1} e x_{2} em função delas a forma quadrática obtida não tem termos mistos. Escreva a expressão da forma quadrática nas novas coordenadas e apresente as expressões de x_{1} e x_{2} em função das novas variáveis y_{1} e y_{2}. Sugestão: use \vec{x}=P \vec{y}.
Análise geométrica da forma quadrática
i) Classifique as curvas de nível desta forma quadrática.
j) Qual o valor mínimo e o valor máximo de que Q nos pontos que satisfazem a condição x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
Q(x_{1},x_{2})=3x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}-3x_{2}^{2},
que é uma forma quadrática em \mathbb{R}^{2}. Para analisá-la usaremos Álgebra Linear de matrizes simétricas: representação matricial, autovalores, autovetores, diagonalização por mudança de base ortonormal, e em seguida classificação geométrica (hipérboles) e extremização sobre a esfera x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
Passo 2
Representação matricial: se
Q(\vec x)=\vec x^{T}A\vec x
e \vec x=(x_{1},x_{2})^{T}, então no padrão
\vec x^{T}\begin{pmatrix}a&b\b&d\end{pmatrix}\vec x =a\,x_{1}^{2}+2b\,x_{1}x_{2}+d\,x_{2}^{2}
precisamos ter a=3, 2b=8\implies b=4, d=-3.
Logo
A=\begin{pmatrix}3&4\\\ 4&-3\end{pmatrix}.
Passo 3
Autovalores de A: resolvemos \det(A-\lambda I)=0, ou seja
Ortonormalidade: \langle \vec u_{1},\vec u_{2}\rangle
=\tfrac1{5}(2\cdot(-1)+1\cdot2)=0 e \|\vec u_{i}\|=1.
Portanto \{\vec u_{1},\vec u_{2}\} é base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
Passo 7
Diagonalização: como A é simétrica, é diagonalizável por base ortonormal. Definimos
Classificação geométrica: \lambda_{1}>0>\lambda_{2} indica forma indefinida; as curvas de nível Q(x_{1},x_{2})=c são hipérboles (para c\neq0) e, para c=0, par de retas.
Passo 11
Extremos em \|\vec x\|=1: o valor máximo do quociente de Rayleigh é \lambda_{\max}=5 e o mínimo é \lambda_{\min}=-5. Portanto em x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 tem
\max Q=5,\quad \min Q=-5.
Resposta
a)
A=\begin{pmatrix}3&4\\\ 4&-3\end{pmatrix}.
b) \lambda_{1}=5,\\ \lambda_{2}=-5.
c) \vec v_{1}=(2,1)^{T},\\ \vec v_{2}=(-1,2)^{T}.
d) \|\vec v_{i}\|=\sqrt5; \vec u_{1}=\tfrac1{\sqrt5}(2,1)^{T},\\ \vec u_{2}=\tfrac1{\sqrt5}(-1,2)^{T}.
e) Sim, pois \langle\vec u_{1},\vec u_{2}\rangle=0 e \|\vec u_{i}\|=1.
f) Sim.