Considere a função abaixo: f(x, y, z)=3 e^2 x z sen(pi x y)
Determine a direção de máxima variação da função a partir do ponto P0=(1 / 2,1,2).

Passo 1

A gente quer saber qual é a direção de máxima variação de f(x,y,z)=3 e^{2 x z} ;sen(\pi x y) no ponto P₀=(½,1,2). Isso é um problema de gradiente: o gradiente de uma função escalar aponta para a direção de crescimento mais rápido, e pode ser normalizado para virar um vetor unitário. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x, partial f/partial y e partial f/partial z. Vamos usar regra do produto e cadeia em cada uma delas.

Passo 2

Aplicando as regras de derivação, obtemos
partial fpartial x = 3 e^2 x zl(2z sin(pi x y) + pi y cos(pi x y)r),
partial fpartial y = 3 e^2 x zl(pi x cos(pi x y)r),
partial fpartial z = 3 e^2 x zl(2x sin(pi x y)r)

Passo 3

Avaliamo essas expressões em P₀=(x,y,z)=(½,1,2). Primeiro observamos
e^2 x z=e^2cdot(1/2)cdot2=e^2,
sin(pi x y)=sinl(tfracpi2r)=1, cos(pi x y)=0
Logo,
partial fpartial x(P₀)=12e^2, partial fpartial y(P₀)=0, partial fpartial z(P₀)=3e^2
Assim
nabla f(P₀)=(12e^2,,0,,3e^2)

Passo 4

O vetor gradiente nabla f(P₀) já indica a direção de máxima variação. Se quisermos a direção unitária, calculamos o módulo:
|nabla f(P₀)|=raiz(12e^2)^2+(0)^2+(3e^2)^2=e^2raiz153=3e^2raiz17
Dividindo componente a componente, ficamos com
l(tfrac12e^23e^2raiz17,0,tfrac3e^23e^2raiz17r)=l(tfrac4raiz17,0,tfrac1raiz17r)

Resposta

A direção de máxima variação em P₀ é dada por
$$\nabla f(P₀)=(12e2,,0,,3e2).
nabla f(P₀)=(12e^2,,0,,3e^2) áçãé\n\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}},0,\tfrac{1}{\sqrt{17}}\Bigr).$$

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