Considere a função abaixo:
Determine a direção de máxima variação da função a partir do ponto
.
Determine a direção de máxima variação da função a partir do ponto
Passo 1
A gente quer saber qual é a direção de máxima variação de f(x,y,z)=3 e^{2 x z} ;sen(\pi x y) no ponto P₀=(½,1,2). Isso é um problema de gradiente: o gradiente de uma função escalar aponta para a direção de crescimento mais rápido, e pode ser normalizado para virar um vetor unitário. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais
,
e
. Vamos usar regra do produto e cadeia em cada uma delas.
Passo 2
Aplicando as regras de derivação, obtemos
Passo 3
Avaliamo essas expressões em P₀=(x,y,z)=(½,1,2). Primeiro observamos
Logo,
Assim
Passo 4
O vetor gradiente
já indica a direção de máxima variação. Se quisermos a direção unitária, calculamos o módulo:
Dividindo componente a componente, ficamos com
Resposta
A direção de máxima variação em P₀ é dada por
$$\nabla f(P₀)=(12e2,,0,,3e2).