Determine se a integral abaixo é ou não convergente. Caso seja convergente, calcule o resultado da integral.
integral0^infty d xx^2+6 x+9

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral0^infty dxx^2+6x+9
é convergente e, em caso afirmativo, calcular o valor. O conteúdo é integral imprópria no infinito e vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar limites para avaliar a convergência e o valor.

Passo 2

Primeiro a gente repara que
x^2+6x+9=(x+3)^2
Isso simplifica a integral para
integral0^infty dx(x+3)^2

Passo 3

Agora, sobre a convergência: como perto de infinito o integrando se comporta como 1/(x+3)^2, e sabemos que integrais do tipo
integral^infty dxx^p
convergem se p>1, aqui p=2>1. Não há singularidade no intervalo [0,infty) porque x+3 nunca é zero. Logo, é convergente.

Passo 4

Para calcular, usamos a antiderivada de 1/(x+3)^2:
integral dx(x+3)^2 = -1x+3 + C
Avaliaremos o limite impróprio: seja btoinfty,
integral0^b dx(x+3)^2 = l[-1x+3r]0^b = -1b+3 + 13
Fazendo btoinfty o termo -1/(b+3) tende a zero, sobram:

Passo 5

Obtemos então o valor da integral:
integral0^infty dxx^2+6x+9 = 13

Resposta

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