Determinar o domínio da função f(x, y)=x raizy^2+x^2-2 x-4 y+1raiz[4]y+x^2+2 x-3
presentá-lo no plano x0y: representá-lo no plano x 0 y :
D=(x, y) in R^2 ; y^2+x^2-2 x-4 y+1 >= 0 e y+x^2+2 x-3>0

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x,y)=xraizy^2+x^2-2x-4y+1raiz[4]y+x^2+2x-3. Isso é conteúdo de domínio de função de duas variáveis, em que precisamos garantir que o radical do numerador seja não negativo e que o radical de quarto grau do denominador seja estritamente positivo.

Passo 2

Como temos raizy^2+x^2-2x-4y+1 no numerador e raiz[4]y+x^2+2x-3 no denominador, as condições são:
  1. y^2+x^2-2x-4y+1>=0.
  2. y+x^2+2x-3>0.

Passo 3

Para a primeira desigualdade completamos quadrados:
y^2-4y + x^2-2x +1 = (y-2)^2-4 + (x-1)^2-1 +1 = (x-1)^2+(y-2)^2-4
Logo exigimos
(x-1)^2+(y-2)^2>=4,
que é a região fora ou sobre o círculo de centro (1,2) e raio 2.

Passo 4

Para a segunda desigualdade também completamos quadrados:
y + x^2+2x -3 = y -l(-x^2-2x+3r) = y -l(-(x+1)^2+4r) = y + (x+1)^2 -4
Reescrevendo para y:
y > -x^2-2x+3 = 4-(x+1)^2,
que é a região estritamente acima da parábola invertida com vértice em (-1,4).

Passo 5

O domínio D é então a interseção dessas duas regiões no plano xy: o conjunto de pontos que estão fora (ou na borda) do círculo de centro (1,2) e raio 2, e ao mesmo tempo acima da parábola de equação y=4-(x+1)^2.

Resposta

D = {(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: (x-1){2}+(y-2){2}\ge4 e y>4-(x+1)^{2}}

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